施图姆函数

给定函数 ，记 并通过下式定义施图姆函数

(1)

其中 是多项式商。然后构造以下施图姆函数链，

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被称为 施图姆链。当获得常数 时，链终止。

施图姆函数为求代数方程在给定区间内实根的数量提供了一种便捷的方法。具体来说，在两个点 和 处评估的施图姆函数之间的符号变化数之差，给出了区间 内的实根数。这个强大的结果被称为 施图姆定理。然而，当数值应用该方法时，在计算多项式商时必须小心，以避免由于舍入误差而产生虚假结果。

作为施图姆函数在寻找 多项式 根 的一个具体应用，考虑函数 ，如上图所示，它有根 、 、 和 1.38879（其中三个是实数）。导数 由 给出，然后 施图姆链 由下式给出

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下表显示了 的符号和为间隔 分隔的点获得的符号变化数 。

		1		1	3
0			1	1	1
2	1	1	1	1	0

这表明 个实根位于 中，并且 个实根位于 中。将间隔减小到 得到下表。

		1		1	3
		1		1	3
	1	1		1	2
	1			1	2
0.0			1	1	1
0.5			1	1	1
1.0		1	1	1	1
1.5	1	1	1	1	0
2.0	1	1	1	1	0

该表隔离了三个实根，并表明它们位于区间 、 和 中。如果需要，可以进一步缩小根所在的区间。

施图姆函数满足以下条件

1. 在区间内的任何点，两个相邻的函数不会同时消失。

2. 在施图姆函数的零点，其两个相邻函数具有不同的符号。

3. 在 的零点周围的足够小区间内， 处处大于零或处处小于零。