孤立数是指没有任何朋友数的数。孤立数包括所有素数、素数幂，以及满足 
的数，其中 
是 
和 
的最大公约数，而 
是除数函数。前几个满足 
的数是 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 21, ... (OEIS A014567)。诸如 18, 45, 48, 52, 136, 148, 160, 162, 176, 192, 196, 208, 232, 244, 261, 272, 292, 296, 297, 304, 320, 352, 和 369 这样的数也容易被证明是孤立数 (Hickerson 2002)。
有些数可以被证明不是孤立数，通过找到另一个具有相同指标的整数，尽管有时最小的这样的数相当大。例如，24 是亲和数，因为 
是一个亲和数对。然而，存在诸如 
、45、48 和 52 这样的数，它们是孤立数，但对于这些数 
。据信 10, 14, 15, 20, 22, 26, 33, 34, 38, 44, 46, 51, 54, 58, 62, 68, 69, 70, 72, 74, 76, 82, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 94, 95, 99, 104, 105, 106 以及许多其他数也是孤立数，尽管证明似乎极其困难。
1996 年，Carl Pomerance 告诉 Dean Hickerson，他可以证明孤立数具有正密度，从而反驳了 Anderson 和 Hickerson (1977) 的一个猜想。然而，这个证明从未发表 (Hickerson 2002)，并且 Pomerance 之后一直无法重现它，导致了对声称的证明的撤回 (C. Pomerance, 私人通讯, 2016 年 12 月 28 日)。
