量子随机微积分 -- 来自 Wolfram MathWorld

设 $B_t={B_t(omega)/omega in Omega}$ , , 为一维布朗运动。关于的积分由伊藤 (Itô) (1951) 定义。该理论的一个基本结果是，随机积分方程的形式为

(1)

可以解释为随机微分方程的形式

(2)

其中微分使用伊藤公式处理

			(3)
			(4)

Hudson 和 Parthasarathy (1984) 获得了布朗运动和泊松过程的福克空间表示。玻色子福克空间在上是指数向量在希尔伯特空间中的线性跨度的完备化，其内积为

(5)

其中和和是的复共轭。

湮灭算符、创生算符和守恒算符 , 和分别在的指数向量上定义如下，

			(6)
			(7)
			(8)

基本量子随机微分 , , 和定义如下，

			(9)
			(10)
			(11)

Hudson 和 Parthasarathy (1984) 定义了关于定义 3 的噪声微分的随机积分，并获得了伊藤乘法表

Hudson-Parthasarathy 量子随机微积分的两个基本定理给出了用普通勒贝格积分表示量子随机积分的矩阵元素的公式。第一个定理指出

M(t)=int_0^tE(s)dLambda(s)+F(s)dA(s)
+G(s)dA^|(s)+H(s)ds,

(12)

其中 , , , 是（通常）时间相关的适应过程。设和在的指数域中，则

<u tensor psi(f),M(t)v tensor psi(g)>
=int_0^t<u tensor psi(f),(f^_(s)g(s)E(s)
+g(s)F(s)+f^_(s)G(s)+H(s))v tensor psi(g)>ds

(13)

第二个定理指出，如果

(14)

和

(15)

其中 , , , , , , , 是（通常）时间相关的适应过程，并且和在的指数域中，则

$<M(t)u tensor psi(f),M^'(t)v tensor psi(g)>int_0^t{<M(s)u tensor psi(f),[f^_(s)g(s)E^'(s)+g(s)F^'(s)+f^_(s)G^'(s)+H^'(s)]v tensor psi(g)>+<[g^_(s)f(s)E(s)+f(s)F(s)+g^_(s)G(s)+H(s)]u tensor psi(f),M^'(s)v tensor psi(g)>+<[f(s)E(s)+G(s)]u tensor psi(f),[g(s)E^'(s)+G^'(s)]v tensor psi(g)>}ds.$

(16)

连接经典随机过程与量子随机过程的基本结果是，由下式定义的过程和

(17)

和

(18)

通过它们的统计性质（例如，它们的真空特征泛函）来识别，

(19)

和

(20)

分别与布朗运动和强度为的泊松过程相同。

在 Hudson-Parthasarathy 量子随机微积分的框架内，经典量子力学演化方程采用以下形式

			(21)
			(22)

其中，对于每个 , 是在系统希尔伯特空间和噪声（或储层）福克空间的张量积上定义的酉算符。这里，, , 在中，上有界线性算符的空间，其中是酉的，是自伴的。请注意，对于，方程 (21) 简化为形式 (2) 的经典随机微分方程。在此以及接下来的内容中，我们将时间无关的、有界的系统空间算符与它们在上的扩展相同看待。