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Nint Zeta 函数

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令

S_N(s)=sum_(n=1)^infty[(n^(1/N))]^(-s),
(1)

其中 [x] 表示最接近整数函数，即最接近 x 的整数。对于 s>3，

S_2(s)=2zeta(s-1)
(2)
S_3(s)=3zeta(s-2)+4^(-s)zeta(s)
(3)
S_4(s)=4zeta(s-3)+zeta(s-1).
(4)

S_N(n) 是关于 pi 的多项式，当 n-N 为奇数时，其系数为代数数。前几个值由下式明确给出

S_3(4)=(pi^2)/2+(pi^4)/(23046)
(5)
S_5(6)=(5pi^2)/6+(pi^4)/(36)+(pi^6)/(4^(12))(1/(945)-(170912+49928sqrt(2))/(25)sqrt(1-sqrt(1/2)))
(6)
S_6(7)=pi^2+(pi^4)/(18)+(pi^6)/(2520)+(246013+353664sqrt(2))/(45)(pi^7)/(2^(27)).
(7)

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Borwein, J. M.; Hsu, L. C.; Mabry, R.; Neu, K.; Roppert, J.; Tyler, D. B.; and de Weger, B. M. M. "最接近整数 Zeta 函数。" Amer. Math. Monthly 101, 579-580, 1994.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Nint Zeta 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Nint Zeta 函数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/NintZetaFunction.html

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