模算术

模算术是算术同余，有时也被非正式地称为“时钟算术”。在模算术中，数字在达到给定的固定数量时会“环绕”，这个固定的数量被称为模数（在时钟的小时情况下为 12，或者在时钟的分钟或秒钟情况下为 60）。

形式上，模算术是整数环的任何非平凡同态像的算术。对于任何这样的同态像 的 ，存在一个整数 使得 同构于模 的整数环 。环 中的加法由 中的加法确定，通过计算两个整数 和 的和 除以 后的余数。类似地，对于环 中的乘法，将两个整数 和 相乘，并计算 除以 后的余数。

对于每个正整数 ，环 有 个元素，即每个小于 的非负整数的等价类，在根据规则 当且仅当 整除 定义的 等价关系 下。将非负整数 的等价类 （在等价关系 下）表示为 是自然且常见的。

例如，在模 12 算术中（为此关联环是 ），允许的数字是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11。这种算术有时被称为“时钟算术”，因为这里的加法结构与用于确定十二小时时钟的时间的结构相同，只是在时钟上，0 通常被 12 替换。模 12 算术中的示例计算包括诸如“”或“”或“”之类的语句，尽管等号 通常被同余符号 替换在这样的语句中，以表明正在使用模算术。更明确地说，诸如

经常使用。

模 2 算术有时被称为“布尔算术”，因为环 是 布尔环 的规范示例。