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第一类修正球贝塞尔函数

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ModifiedSphericalBesselI

第一类修正球贝塞尔函数（Abramowitz 和 Stegun 1972），也称为“第一类球修正贝塞尔函数”（Arfken 1985），是修正球贝塞尔微分方程的第一个解，由下式给出

i_n(x)=sqrt(pi/(2x))I_(n+1/2)(x),
(1)

其中 I_n(z) 是第一类修正贝塞尔函数（Arfken 1985，第 633 页）。

对于正数 x，对于小的非负整数指标，前几个值是

i_0(x)=(sinhx)/x
(2)
i_1(x)=(xcoshx-sinhx)/(x^2)
(3)
i_2(x)=((x^2+3)sinhx-3xcoshx)/(x^3)
(4)
i_3(x)=((x^3+15x)coshx-(6x^2+15)sinhx)/(x^4)
(5)
i_4(x)=((x^4+45x^2+105)sinhx-(10x^3+105x)coshx)/(x^5)
(6)

(OEIS A094674 和 A094675)。

写作

i_n(z)=g_n(z)sinhz+g_(-(n+1))(z)coshz,
(7)

则 g_n 由以下递推方程给出

g_(n-1)(z)-g_(n+1)(z)=(2n+1)z^(-1)g_n(z)
(8)

以及

g_0(z)=z^(-1)
(9)
g_1(z)=-z^(-2)
(10)

(Abramowitz 和 Stegun 1972，第 443 页)。

i_n(x) 的奇偶性为 (-1)^n (Arfken 1985，第 633 页)。

i_n(x) 与第一类球贝塞尔函数 j_n(x) 的关系为

i_n(x)=i^(-n)j_n(ix)
(11)

对于 x>0 和整数 n (Arfken 1985，第 633 页)。

它们也满足以下微分恒等式

i_(n+1)(x)=x^nd/(dx)(x^(-n)i_n)
(12)
i_n(x)=x^n(d/(xdx))^n(sinhx)/x,
(13)

以及递推关系

i_(n-1)(x)-i_(n+1)(x)=(2n+1)/xi_n(x)
(14)
ni_(n-1)(x)+(n+1)i_(n+1)(x)=(2n+1)i_n^'(x)
(15)

(Arfken 1985，第 634 页)。

另请参阅

第一类修正贝塞尔函数, 第二类修正球贝塞尔函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). “修正球贝塞尔函数。” §10.2 见 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 纽约：Dover，第 443-445 页，1972 年。Arfken, G. 物理学家数学方法，第 3 版。 奥兰多，佛罗里达州：Academic Press，第 633-634 页，1985 年。Sloane, N. J. A. 序列 A094674 和 A094675，出自“整数序列在线百科全书”。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

第一类修正球贝塞尔函数

请引用为

Weisstein, Eric W. “第一类修正球贝塞尔函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ModifiedSphericalBesselFunctionoftheFirstKind.html

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