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勒让德变换

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序列 {c_k} 的勒让德变换是序列 {a_k}，其项由下式给出

a_n=sum_(k=0)^(n)(n; k)(n+k; k)c_k
(1)
=sum_(k=0)^(n)(2k; k)(n+k; n-k)c_k,
(2)

其中 (n; k) 是一个 二项式系数 (Jin and Dickinson 2000, Zudilin 2004)。 逆勒让德变换由下式给出

(2n; n)c_n=sum_(k=0)^n(-1)^(n-k)d_(n,k)a_k,
(3)

其中

d_(n,k)=(2n; n-k)-(2n; n-k-1)
(4)
=(2k+1)/(n+k+1)(2n; n-k)
(5)

(Zudilin 2004)。

Strehl (1994) 和 Schmidt (1995) 表明

sum_(k=0)^n(n; k)^2(n+k; k)^2=sum_(k=0)^n(n; k)(n+k; k)sum_(j=0)^k(k; j)^3.
(6)

另请参阅

二项式求和， 勒让德变换， 施密特问题， 斯特雷尔恒等式

使用 探索

参考文献

Jin, Y. 和 Dickinson, H. "Apéry 序列与勒让德变换。" J. Austral. Math. Soc. Ser. A 68, 349-356, 2000.Schmidt, A. L. "勒让德变换与 Apéry 序列。" J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58, 358-375, 1995.Strehl, V. "二项式恒等式——组合与算法方面。离散数学趋势。" Disc. Math. 136, 309-346, 1994.Zudilin, W. "关于 Asmus Schmidt 的组合问题。" Elec. J. Combin. 11, R22, 1-8, 2004. http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r22.html.

在 中被引用

勒让德变换

请引用为

Weisstein, Eric W. "勒让德变换。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LegendreTransform.html

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