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拉普拉斯方程--共焦椭球坐标

使用 Byerly (1959, pp. 252-253) 的符号，拉普拉斯方程可以简化为

del ^2F=(mu^2-nu^2)(partial^2F)/(partialalpha^2)+(lambda^2-nu^2)(partial^2F)/(partialbeta^2)+(lambda^2-mu^2)(partial^2F)/(partialgamma^2)=0,
(1)

其中

alpha=cint_c^lambda(dlambda)/(sqrt((lambda^2-b^2)(lambda^2-c^2)))
(2)
=F(b/c,pi/2)-F(b/c,sin^(-1)(c/lambda))
(3)
beta=cint_b^mu(dmu)/(sqrt((c^2-mu^2)(mu^2-b^2)))
(4)
=F(sqrt(1-b^2-c^2),sin^(-1)(sqrt((1-(b^2)/(mu^2))/(1-(b^2)/(c^2)))))
(5)
gamma=cint_0^nu(dnu)/(sqrt((b^2-nu^2)(c^2-nu^2)))
(6)
=F(b/c,sin^(-1)(nu/b)).
(7)

用 alpha, beta 和 gamma 表示，

lambda=cdc(alpha,b/c)
(8)
mu=bnd(beta,sqrt(1-(b^2)/(c^2)))
(9)
nu=bsn(gamma,b/c).
(10)

方程 (◇) 使用以下形式的函数不可分离

F=L(alpha)M(beta)N(gamma),
(11)

但如果我们令其为以下形式则可分离

1/L(d^2L)/(dalpha^2)=suma_klambda^k
(12)
1/M(d^2M)/(dbeta^2)=sumb_kmu^k
(13)
1/N(d^2N)/(dgamma^2)=sumc_knu^k.
(14)

这些给出

a_0=-b_0=c_0
(15)
a_2=-b_2=c_2,
(16)

并且所有其他项都消失。因此，(◇) 可以分解为以下方程

(d^2L)/(dalpha^2)=(a_0+a_2lambda^2)L
(17)
(d^2M)/(dbeta^2)=-(a_0+a_2mu^2)M
(18)
(d^2N)/(dgamma^2)=(a_0+a_2nu^2)N.
(19)

为了以后的方便，现在写成

a_0=-(b^2+c^2)p
(20)
a_2=m(m+1),
(21)

那么

(d^2L)/(dalpha^2)-[m(m+1)lambda^2-(b^2+c^2)p]L=0
(22)
(d^2M)/(dbeta^2)+[m(m+1)mu^2-(b^2+c^2)p]M=0
(23)
(d^2N)/(dgamma^2)-[m(m+1)nu^2-(b^2+c^2)p]N=0.
(24)

现在替换 alpha, beta 和 gamma 以获得

(lambda^2-b^2)(lambda^2-c^2)(d^2L)/(dlambda^2)+lambda(lambda^2-b^2+lambda^2-c^2)(dL)/(dlambda) -[m(m+1)lambda^2-(b^2+c^2)p]L=0 (mu^2-b^2)(mu^2-c^2)(d^2M)/(dmu^2)+mu(mu^2-b^2+mu^2-c^2)(dM)/(dmu) -[m(m+1)mu^2-(b^2+c^2)p]M=0 (nu^2-b^2)(nu^2-c^2)(d^2N)/(dnu^2)+nu(nu^2-b^2+nu^2-c^2)(dN)/(dnu) -[m(m+1)nu^2-(b^2+c^2)p]N=0.
(25)

每一个都是 Lamé 微分方程，其解称为第一类椭球谐函数。写作

L(lambda)=E_m^p(lambda)
(26)
M(lambda)=E_m^p(mu)
(27)
N(lambda)=E_m^p(nu)
(28)

给出了 (◇) 的解，作为第一类椭球谐函数 E_m^p(x) 的乘积。

F=E_m^p(lambda)E_m^p(mu)E_m^p(nu).
(29)

另请参阅

共焦椭球坐标, 第一类椭球谐函数, 亥姆霍兹微分方程

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参考文献

阿肯，G. "共焦椭球坐标 (xi_1,xi_2,xi_3)." §2.15 in 物理学家数学方法，第二版。 奥兰多，佛罗里达州：学术出版社，pp. 117-118, 1970。拜尔利，W. E. 傅里叶级数、球谐函数、柱谐函数和椭球谐函数初等论著，以及在数学物理问题中的应用。 纽约：多佛出版社，pp. 251-258, 1959。穆恩，P. 和 斯宾塞，D. E. 场论手册，包括坐标系、微分方程及其解，第二版。 纽约：施普林格出版社，pp. 43-44, 1988。莫尔斯，P. M. 和 费什巴赫，H. 理论物理方法，第一部分。 纽约：麦格劳-希尔，p. 663, 1953。

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "拉普拉斯方程--共焦椭球坐标。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/LaplaceEquationConfocalEllipsoidalCoordinates.html

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