Laplace-Carson 变换

Laplace-Carson 变换 是一个实值函数 的 积分变换，由以下公式定义：

(1)

在大多数情况下，函数 仅为属于实值函数类 的某些函数 定义。 中的函数满足三个性质，即

1. 在每个有限长度的 区间 内是 可积的，

2. 对于所有 ，

3. 存在一个 实数 ，使得对于所有值 ，。

特别地， 意味着对于所有实数 ， 存在。

可以将 Laplace-Carson 变换视为常规 Laplace 变换 的变体，Carson 专门设计该变体以使 Heaviside 阶跃函数 （一个 Laplace 变换由 给出）的变换对于所有值 都等于 1。 实际上，仅从 的定义出发，就可以轻松推断出 的此属性，以及变换本身的其他一系列直接的基本属性。 例如，如果 是一个 Laplace-Carson 变换表示为 的函数，并且如果 用作将 Laplace-Carson 变换应用于 并得到 的简写，则以下恒等式成立：

(2)

(3)

和

(4)

此外，可以证明对于任意实数 和 ，

(5)

(6)

和

(7)

() 和 () 中的恒等式分别被称为滞后定理和位移定理。

给定函数 ，其 Laplace-Carson 变换分别为 ，可以证明 卷积/乘法定理：

(8)

最后，可以证明：

(9)

和

(10)

除了上述内容外，还可以使用各种其他方法证明关于 Laplace-Carson 恒等式的更多有趣的结果；许多这样的结果需要更精细的方法（Rubinstein 和 Rubinstein 1999）。