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兰索斯近似

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伽玛函数 gamma function Gamma(z+1) 的一个近似值，其中 R[z]>0 由下式给出

Gamma(z+1)=sqrt(2pi)(z+sigma+1/2)^(z+1/2)e^(-(z+sigma+1/2))sum_(k=0)^inftyg_kH_k(z),
(1)

其中 sigma 是一个任意常数，使得 R[z+sigma+1/2]>0，

g_k=(e^sigmaepsilon_k(-1)^k)/(sqrt(2pi))sum_(r=0)^k(-1)^r(k; r)(k)_r(e/(r+sigma+1/2))^(r+1/2),
(2)

其中 (k)_r 是一个 波赫哈默尔符号 并且

epsilon_k={1 for k=0; 2 otherwise,
(3)

并且

H_k(z)=1/((z+1)_k(z+1)_(-k))
(4)
=((-1)^k(-z)_k)/((z+1)_k),
(5)

其中 H_0(z)=1 (Lanczos 1964; Luke 1969, p. 30)。 g_k 满足

sum_(k=0)^inftyg_k=1,
(6)

并且如果 z 是一个 正整数，那么 g_k 满足恒等式

sum_(k=0)^n((-1)^k(-n)_k)/((n+1)_k)g_k=(e^(n+sigma+1/2)n!)/(sqrt(2pi)(n+sigma+1/2)^(n+1/2))
(7)

(Luke 1969, p. 30)。

类似的结果由下式给出

ln[Gamma(z)]=(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2[(c_1)/(z+1)+(c_2)/(2(z+1)(z+2))+...]
(8)
=(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=1)^(infty)(zc_n)/(n(z)_(n+1))
(9)
=(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=1)^(infty)(z!c_n)/(n(n+z)!),
(10)

其中 (z)_n 是一个 波赫哈默尔符号，n! 是一个 阶乘，并且

c_n=int_0^1(x)_n(2x-1)dx.
(11)

c_n 的前几个值是

c_1=1/6
(12)
c_2=1/3
(13)
c_3=(59)/(60)
(14)
c_4=(58)/(15)
(15)
c_5=(533)/(28)
(16)

(OEIS A054379 和 A054380；Whittaker 和 Watson 1990, p. 253)。 注意 Whittaker 和 Watson 错误地将 c_4 写成 227/60。

另一个相关结果给出

ln[Gamma(z)]=(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2[1/(2·3)sum_(r=1)^infty1/((z+r)^2)+2/(3·4)sum_(r=1)^infty1/((z+r)^3)+3/(4·5)sum_(r=1)^infty1/((z+r)^4)+...] =(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=2)^infty((n-1))/(n(n+1))zeta(n,z+1) =(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=2)^infty((-1)^n(n-1))/((n+1)!)psi_(n-1)(z)
(17)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 261)，其中 zeta(s,a) 是一个 赫尔维茨zeta函数，并且 psi_n(z) 是一个 多伽玛函数。

另请参阅

伽玛函数

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参考文献

Lanczos, C. J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. B: Numer. Anal. 1, 86-96, 1964.Luke, Y. L. "Gamma(z+1) 的展开式。" §2.10.3 in 特殊函数及其近似，第 1 卷。 New York: Academic Press, pp. 29-31, 1969.Sloane, N. J. A. 序列 A054379 和 A054379，出自“整数序列在线百科全书”。Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

兰索斯近似

引用为

Weisstein, Eric W. “兰索斯近似。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LanczosApproximation.html

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