拉格朗日乘数，也称为拉格朗日乘子（例如，Arfken 1985，第 945 页），可用于找到多元函数的极值 
，受约束于 
，其中 
和 
是在包含曲线 
的开集上具有连续一阶偏导数的函数，并且在曲线上任何点处 
（其中 
是梯度）。
为了使 
的极值存在于 
上，梯度 
必须与 梯度 
对齐。在上面的图示中，
以红色显示，
以蓝色显示，并且 
和 
的交集以浅蓝色指示。梯度是一个水平向量（即，它没有 
-分量），它显示函数增加的方向；对于 
，它垂直于曲线，在这种情况下曲线是一条直线。如果两个梯度方向相同，则一个是另一个的倍数 (
)，因此
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(1)
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这两个向量相等，因此它们的所有分量也相等，给出
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(2)
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对于所有 
, ..., 
，其中常数 
称为拉格朗日乘数。
然后通过求解 
个方程和 
个未知数来找到极值，这样做无需反转 
，这就是拉格朗日乘数如此有用的原因。
对于多个约束 
, 
, ...,
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(3)
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