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Kendall 算符

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算符 tpartial/partialr 可以用于从相应的单变量公式推导出 矩 和 累积量 的多元公式。

例如，为了推导出多元 中心矩 mu_(4-r,r) 关于多元累积量的表达式，从以下开始

mu_4=3kappa_2^2+kappa_4.
(1)

现在将每个变量 x_n 重写为 x(r^n) 以获得

mu(r^4)=3kappa(r^2)^2+kappa(r^4).
(2)

现在对每一边关于 r 求导，其中

4r^3mu^'(r^4)=12kappa(r^2)kappa^'(r^2)+4r^3kappa^'(r^4),
(3)

并且无论何时出现导数项 x^'(r,t)，移除导数并将参数替换为 t 乘以自身，因此

4r^3mu(r^3t)=12kappa(r^2)kappa(rt)+4r^3kappa(r^3t).
(4)

现在将任何作为系数出现的 r 设置为 1，因此

4mu(r^3t)=12kappa(r^2)kappa(rt)+4kappa(r^3t).
(5)

两边同除以 4 得到

mu(r^3t)=3kappa(r^2)kappa(rt)+kappa(r^3t).
(6)

最后，将任何作为项系数出现的 t 的系数幂设置为 1，并将结果项 x(r^m,t^n) 解释为 x_(m,n)，这样上面就给出了

mu_(3,1)=3kappa_(2,0)kappa_(1,1)+kappa_(3,1).
(7)

此过程可以重复最多 n 次，其中 n 是单变量情况的下标。

迭代上述过程得到

mu(r^4)=3kappa(r^2)^2+kappa(r^4)
(8)
mu(r^3t)=3kappa(r^2)kappa(rt)+kappa(r^3t)
(9)
tmu(r^2t^2)=2kappa(rt)^2+tkappa(r^2)kappa(t^2)+tkappa(r^2t^2)
(10)
t^3mu(rt^3)=3tkappa(rt)kappa(t^2)+t^3kappa(rt^3)
(11)
t^6mu(t^4)=3t^2kappa(t^2)^2+t^6kappa(t^4),
(12)

给出恒等式

mu_(4,0)=3kappa_(2,0)^2+kappa_(4,0)
(13)
mu_(3,1)=3kappa_(1,1)kappa_(2,0)+kappa_(3,1)
(14)
mu_(2,2)=2kappa_(1,1)^2+kappa_(0,2)kappa_(2,0)+kappa_(2,2)
(15)
mu_(1,3)=3kappa_(0,2)kappa_(1,1)+kappa_(1,3)
(16)
mu_(0,4)=3kappa_(0,2)^2+kappa_(0,4).
(17)

另请参阅

中心矩, 峰度, 原点矩

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参考文献

Kendall, M. G. "The Derivation of Multivariate Sampling Formulae from Univariate Formulae by Symbolic Operation." Ann. Eugenics 10, 392-402, 1940.Stuart, A.; and Ord, J. K. Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol. 1: Distribution Theory, 6th ed. New York: Oxford University Press, 1998.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Kendall 算符

如此引用本文

Weisstein, Eric W. "Kendall 算符." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/KendallOperator.html

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