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琴生不等式

如果 p_1, ..., p_n 是和为 1 的正数，且 f 是一个 实 连续函数，它是 凸函数，那么

f(sum_(i=1)^np_ix_i)<=sum_(i=1)^np_if(x_i).
(1)

如果 f 是 凹函数，那么不等式反向，得到

f(sum_(i=1)^np_ix_i)>=sum_(i=1)^np_if(x_i).
(2)

等同于 p_i=1/n 的特殊情况，对于 凹函数 lnx 给出

ln(1/nsum_(i=1)^nx_i)>=1/nsum_(i=1)^nlnx_i,
(3)

可以进行指数运算，得到算术平均值- 几何平均值不等式

(x_1+x_2+...+x_n)/n>=RadicalBox[{{x, _, 1}, {x, _, 2}, ..., {x, _, n}}, n].
(4)

这里，等式成立当且仅当 x_1=x_2=...=x_n。

另请参阅

凹函数, 凸函数, 琴生公式

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参考文献

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. 圣地亚哥，加利福尼亚州：学术出版社，第 1101 页，2000 年。Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. "Some Theorems Concerning Monotonic Functions." §3.14 in Inequalities, 2nd ed. 剑桥，英格兰：剑桥大学出版社，第 83-84 页，1988 年。Jensen, J. L. W. V. "Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes." Acta Math. 30, 175-193, 1906.Krantz, S. G. "Jensen's Inequality." §9.1.3 in Handbook of Complex Variables. 波士顿，马萨诸塞州：Birkäuser，第 118 页，1999 年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

琴生不等式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Jensen's Inequality." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/JensensInequality.html

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