超正弦

超正弦（-维正弦函数）是 n 维平行多面体或单纯形的顶点角的函数。如果平行多面体的体积是 ，且在顶点 相交的平行多面体的 个面的体积是 ，那么该顶点的 维正弦值为

(1)

将平行多面体的一条边的长度改变一个因子，体积 会以相同的因子改变，而除一个面之外的所有面的体积也会以相同的因子改变。因此，边的长度的改变不影响等式右侧的值，并且正弦函数仅取决于平行多面体的边之间的角度，而不是它们的长度。此外，平行多面体的所有顶点角的正弦值都相同，因为相对的面具有相同的体积，并且每对相对的面中都有一面在每个顶点相交。如果我们延伸一个顶点处的面，所有由此形成的 个顶点角都具有相同的正弦值，因为它们只是平行多面体的顶点角的平移。

当平行多面体是正交多面体且其所有顶点角都是直角时， 维正弦的最大值为 1。对于位于较低维度空间并因此退化的平行多面体或单纯形， 维正弦的最小值为零。如果一个单纯形有一个直角（所有边都相互正交），则它是一个直角单纯形，并且除直角之外的顶点角的正弦平方和为 1。 维直角单纯形的任何顶点角的 维正弦是对面的体积与直角对面面的体积之比。

n 维平行多面体的一个顶点的顶点单纯形是以该顶点和平行多面体的 个相邻顶点作为其顶点的单纯形。它的体积（以及所有其他顶点单纯形的体积）是平行多面体的体积除以 。如果 维单纯形的体积是 ，且在顶点 相交的 个面的体积是 ，则该单纯形可以被视为平行多面体的顶点单纯形，并且这些面也是平行多面体的面的顶点单纯形，相对于相同的顶点。代入公式 (1) 得到

(2)

如果我们将单纯形的剩余面标记为 ，我们可以推导出

(3)

由于等式右侧与选择单纯形的哪个顶点无关，因此等式左侧对于所有顶点都相同，因此 n 维单纯形存在正弦定理，使得一个顶点的正弦与对面体积的比值对于所有顶点都相同。

对于椭圆或球面空间中的单纯形，单纯形的顶点的正弦等于其极单纯形的面的极正弦，该顶点是该极单纯形面的极点。该面的边具有弧长（以弧度为单位），该弧长与顶点角的面之间的相应二面角互补。使用这个，我们可以应用极单纯形的面的极正弦公式（用其边表示）来从在该角相交的面之间的二面角计算 维正弦。如果面 和 之间的二面角是 ，则

(4)

对于在顶点 相交的面之间的二面角为 、 和 的四面体，我们有

(5)

平行多面体的体积等于顶点角的极正弦与在该角相交的边的乘积。如果我们将 识别为平行多面体的面 的顶点角，我们可以代入公式 (1) 并消去边以获得

(6)

极正弦对于平行多面体的所有顶点都相同，并且可以很容易地从 维角的边之间的平面角计算出来。

在二维空间中，三角形顶点的 维正弦与顶点角的正弦相同。在三维空间中，顶点角处面角为 、 和 的四面体的顶点角的 维正弦由下式给出

(7)