极坐标正弦

极坐标正弦是 n 维平行多面体或单纯形体的顶角函数。如果平行多面体的体积是 ，且在顶点 相交的 条边的长度分别是 , , ..., ，那么该顶点的极坐标正弦值为

将平行多面体的一条边的长度改变一个因子，体积 也改变相同的因子。因此，边长的改变不影响等式右边的值，极坐标正弦函数仅取决于平行多面体边之间的角度，而不是它们的长度。此外，平行多面体所有顶角的极坐标正弦值都相同，因为定义的等式右边不依赖于所选的顶点。如果我们在一个顶点处延伸各个面，所有由此形成的 个顶角都具有相同的极坐标正弦值，因为它们仅仅是平行多面体顶角的平移。

如果一个球体以 n 维角的顶点为中心，该角的 条射线与球体相交于 个点，这些点是张成该角的 维球面单纯形体的顶点。我们将该球面单纯形体的极坐标正弦定义为它所张成的角的极坐标正弦。对于一个 n 维球面单纯形体 ，如果顶点 和 之间的边的长度为 ，则其在高斯曲率 高斯曲率 的空间中的极坐标正弦值由下式给出

设一个 n 维球面单纯形体位于一个以 为中心的球面上，并构造其极单纯形体。那么，由从 出发穿过极单纯形体的顶点的射线形成的在 处的 n 维角的正弦值等于原始单纯形体的极坐标正弦值。

当空间曲率 趋近于零时，n 维球面单纯形体的极坐标正弦的极限是 ，其中 是具有相同边长的欧几里得单纯形体的体积。