Hensel 引理

赋值理论中的一个重要结果，它提供了寻找多项式根的信息。Hensel 引理的正式表述如下。设 为完备的 非阿基米德域，设 为对应的 赋值环。设 为一个 多项式，其 系数 在 中，并假设 满足

(1)

其中 是 的（形式）导数。那么存在唯一的元素 使得 且

(2)

不那么正式地说，如果 是一个具有“整数”系数的多项式，且 与 相比“很小”，那么方程 在 “附近”有一个解。此外，在 附近没有其他解，尽管可能存在其他解。该引理的证明是基于牛顿-拉夫逊方法，并依赖于赋值的非阿基米德性质。

考虑以下示例，其中使用 Hensel 引理来确定方程 在 5-adic 数 中是可解的（因此我们可以将高斯整数以一种很好的方式嵌入到 中）。设 为 5-adic 数 ，设 ，并设 。那么我们有 和 ，所以

(3)

且条件满足。然后 Hensel 引理告诉我们，存在一个 5-adic 数 使得 且

(4)

类似地，存在一个 5-adic 数 使得 且

(5)

因此，我们找到了 在 中的两个平方根。使用这种技术可以找到任何多项式的根。