一个 
-空间，以海因茨·霍普夫命名，有时也称为霍普夫空间，是一个拓扑空间，带有一个连续的二元运算 
，使得存在一个点 
，具有以下性质：两个映射 
和 
都同伦于 
上的恒等映射 
，通过保持点 
的同伦。元素 
称为同伦单位元。
应该注意的是，作者们对于 
-空间的定义并不总是一致。在一些文献中，由 
和 
给出的映射被要求等于 
上的恒等映射。在另一些文献中，这两个映射被要求如上所述同伦于恒等映射，但同伦不需要固定元素 
。幸运的是，我们有一个令人欣慰的事实，即对于任何 CW-复形，上述三个定义是等价的。
对于任何具有同伦单位元 
的 
-空间 
，以基点 
的基本群是一个 阿贝尔群。然而，在不包含 
的 
的路径连通分支中取另一个基点 
可能会导致非阿贝尔基本群。
一个同伦理论中的深刻定理，被称为霍普夫不变量一定理（有时也称为亚当斯定理）指出，唯一是 
-空间的 
-球面是 
、
、
和 
。
