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Grothendieck 常数

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设 A 为一个 n×n 实 方阵，其中 n>=2 使得

|sum_(i=1)^nsum_(j=1)^na_(ij)s_it_j|<=1
(1)

对于所有实数 s_1, s_2, ..., s_n 和 t_1, t_2, ..., t_n 满足 |s_i|,|t_j|<=1。然后 Grothendieck 证明存在一个常数 k_R(n) 满足

|sum_(i=1)^nsum_(j=1)^na_(ij)x_i·y_j|<=k_R(n)
(2)

对于 Hilbert 空间中的所有向量 x_1,x_2,...,x_m 和 y_1,y_2,...,y_n，其范数 |x_i|<=1 且 |y_j|<=1。 Grothendieck 常数是 k_R(n) 的最小值。例如，对于小的 n，已知的最佳值是

k_R(2)=sqrt(2)
(3)
k_R(3)<1.517
(4)
k_R(4)<=1/2pi
(5)

(Krivine 1977, 1979; König 1992; Finch 2003, p. 236)。

现在考虑极限

k_R=lim_(n->infty)k_R(n),
(6)

它与 Khinchin 常数 相关，有时也表示为 K_G。 Krivine (1977) 表明

1.67696...<=k_R<=1.7822139781...,
(7)

并假设

k_R=pi/(2ln(1+sqrt(2)))=1.7822139...
(8)

(OEIS A088367)。 2011 年，Yury Makarychev、Mark Braverman、Konstantin Makarychev 和 Assaf Naor 反驳了这一猜想，他们表明 k_R 严格小于 Krivine 的界限 (Makarychev 2011)。

类似地，如果数字 s_i 和 t_j 以及矩阵 A 被视为复数，则可以定义一组类似的常数 k_C(n)。已知这些常数满足

k_C(2) in [1.1526,1.2157]
(9)
k_C(3) in [1.2108,1.2744]
(10)
k_C(4) in [1.2413,1.3048]
(11)

(Krivine 1977, 1979; König 1990, 1992; Finch 2003, p. 236)。

极限

k_C=lim_(n->infty)k_C(n)
(12)

满足

1.33807<=k_C<=1.40491
(13)

(Krivine 1977, 1979; Haagerup 1987; Finch 20003, p. 246)，其中上限 (OEIS A088374) 由 8/[pi(x_0+1)] 给出，其中

psi(x)=xint_0^(pi/2)(cos^2theta)/(sqrt(1-x^2sin^2theta))dtheta
(14)
=1/x[E(x)-(1-x^2)K(x)],
(15)

E(k) 是第二类完全椭圆积分，K(k) 是第一类完全椭圆积分，并且 x_0=0.812557... (OEIS A088373) 是

psi(x)=1/8pi(x+1).
(16)

然而，Haagerup (1987) 认为上限（以及可能实际值）是不正确的，更合理的可能是由下式给出

(int_0^(pi/2)(cos^2theta)/(sqrt(1+sin^2theta))dtheta)^(-1)=1/(2K(i)-E(i))
(17)
=1.4045759...
(18)

(OEIS A088375; Finch 2003, pp. 236-237)。

另请参阅

Hilbert 空间

使用 探索

参考文献

Finch, S. R. "Grothendieck's Constants." §3.11 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 235-237, 2003.Fishburn, P. C. 和 Reeds, J. A. "Bell Inequalities, Grothendieck's Constant, and Root Two." SIAM J. Discr. Math. 7, 48-56, 1994.Haagerup, U. "A New Upper Bound for the Complex Grothendieck Constant." Israeli J. Math. 60, 199-224, 1987.König, H. "On the Complex Grothendieck Constant in the n-Dimensional Case." In Geometry of Banach Spaces: Proceedings of the Conference Held in Linz, 1989 (Ed. P. F. X. Müller and W. Schachermauer). Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 181-198, 1990.König, H. "Some Remarks on the Grothendieck Inequality." General Inequalities 6, Proc. 1990 Oberwolfach Conference (Ed. W. Walter). Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 201-206, 1992.Krivine, J.-L. "Sur la constante de Grothendieck." C. R. A. S. 284, 445-446, 1977.Krivine, J.-L. "Constantes de Grothendieck et fonctions de type positif sur les spheres." Adv. Math. 31, 16-30, 1979.Jameson, G. L. O. Summing and Nuclear Norms in Banach Space Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1987.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 42, 1983.Lindenstrauss, J. 和 Pełczyński, A. "Absolutely Summing Operators in L_p Spaces and Their Applications." Studia Math. 29, 275-326, 1968.Makarychev, Y. "The Grothendieck Constant Is Strictly Smaller Than Krivine." Seminar. Cambridge, MA: MIT Computer Science and Artificial Intelligence Laboratory. Nov. 8, 2011.Sloane, N. J. A. 序列 A088367, A088373, A088374, 和 A088375，出自 "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences"。

在 上被引用

Grothendieck 常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Grothendieck 常数。" 出自 MathWorld-- 资源。 https://mathworld.net.cn/GrothendiecksConstant.html

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