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古德斯坦序列

给定一个数 遗传表示，以 基数 b 表示的 n，令 B[b](n) 为非负整数，它是通过在语法上将每个 b 替换为 b+1 而得到的（即，B[b] 是一个基数更改运算符，将基数从 b “提升”到 b+1）。266 在基数 2 中的遗传表示是

266=2^8+2^3+2
(1)
=2^(2^(2+1))+2^(2+1)+2,
(2)

因此，将基数从 2 提升到 3 得到

B[2](266)=3^(3^(3+1))+3^(3+1)+3.
(3)

现在重复提升基数并减去 1，

G_0(266)=266
(4)
=2^(2^(2+1))+2^(2+1)+2
(5)
G_1(266)=B[2](266)-1=3^(3^(3+1))+3^(3+1)+2
(6)
G_2(266)=B[3](G_1)-1=4^(4^(4+1))+4^(4+1)+1
(7)
G_3(266)=B[4](G_2)-1=5^(5^(5+1))+5^(5+1)
(8)
G_4(266)=B[5](G_3)-1=6^(6^(6+1))+6^(6+1)-1
(9)
=6^(6^(6+1))+5·6^6+5·6^5+...+5·6+5
(10)
G_5(266)=B[6](G_4)-1
(11)
=7^(7^(7+1))+5·7^7+5·7^5+...+5·7+4,
(12)

等等。

从整数 n 开始此过程得到古德斯坦序列 {G_k(n)}。令人惊奇的是，尽管序列的项明显快速增加，古德斯坦定理指出，对于任何 n 和任何足够大的 k，G_k(n) 都为 0。更令人惊讶的是，Paris 和 Kirby 在 1982 年证明了古德斯坦定理在普通的皮亚诺算术中是不可证明的 (Borwein and Bailey 2003, p. 35)。

另请参阅

古德斯坦定理, 遗传表示, 巴黎-哈灵顿定理

使用 探索

参考文献

Borwein, J. and Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 34-35, 2003.Goodstein, R. L. "关于受限序数定理。" J. Symb. Logic 9, 33-41, 1944.Henle, J. M. 集合论概要。 New York: Springer-Verlag, 1986.Simpson, S. G. "不可证明的定理和快速增长的函数。" Contemp. Math. 65, 359-394, 1987.

在 中被引用

古德斯坦序列

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "古德斯坦序列。" 来自 -- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/GoodsteinSequence.html

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