Gerver 沙发

Gerver (1992) 发现了一种沙发，其面积大于解决移动沙发问题的最佳Hammersley 沙发。Gerver 还提供了论据，表明它要么是最佳的，要么接近最佳。Gerver 沙发的边界是一个复杂的形状，由 3 条直线段和 15 个弯曲部分组成，每个部分都由解析表达式描述。如上图所示 (Romik 2016, 2018)。

上面显示了 Gerver 沙发绕转弯的动画 (Romik 2016)。

Gerver 沙发的面积可以通过定义常数、、和通过求解给出

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

(Gerver 1992, Finch 2003)。这给出

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

(Gerver 1992, Finch 2003)。

现在定义

$r(alpha)={1/2 for 0<=alpha<phi; 1/2(1+A+alpha-phi) for phi<=alpha<theta; A+alpha-phi for theta<=alpha<1/2pi-theta; B-1/2(1/2pi-alpha-phi)(1+A)-1/4(1/2pi-alpha-phi)^2 for 1/2pi-theta<=alpha<1/2pi-phi,$

(9)

其中

			(10)
		${B-1/2(alpha-phi)(1+A) for phi<=alpha<theta-1/4(alpha-phi)^2; A+1/2pi-phi-alpha for theta<=alpha<1/4pi$	(11)
			(12)
			(13)

(Gerver 1992, Finch 2003)。

最后，定义函数

			(14)
			(15)
			(16)

最优沙发的面积然后由下式给出

			(17)
			(18)

(OEIS A128463; Gerver 1992, Finch 2003)，该值略大于最大Hammersley 沙发的面积 2.207416 (OEIS A086118)，可以称为移动沙发常数。

假设凸轨迹和包络线，Deng (2024) 使用变分法在一组曲线的参数方程上制定了一个积分泛函，该曲线通过求解欧拉-拉格朗日微分方程来确定沙发形状。使用数值方法，这给出了一个面积为 2.2195316 的形状，与 Gerver 沙发一致。Baek (2024) 表明，Gerver 的构造达到了最大面积 2.2195...，所使用的证明不需要计算机辅助，除了可以在科学计算器上完成的数值计算。

另请参阅

Hammersley 沙发，移动沙发常数，移动沙发问题

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更多尝试

参考文献

Baek, J. "Optimality of Gerver's Sofa." 2024 年 11 月 29 日。https://arxiv.org/abs/2411.19826.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag, 1994.Deng, Z. "Calculus of Variation Approach and Euler-Lagrange Equations for the Moving Sofa Problem." 2024 年 8 月。 https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3234695.Deng, Z. "Solving Moving Sofa Problem Using Calculus of Variations." 2024 年 7 月 2 日。 https://arxiv.org/abs/2407.02587.Finch, S. R. "Moving Sofa Constant." §8.12 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 519-523, 2003.Gerver, J. L. "On Moving a Sofa Around a Corner." Geometriae Dedicata 42, 267-283, 1992.Romik, D. "MovingSofas: A Companion Mathematica Package to the Paper "Differential Equations and Exact Solutions in the Moving Sofa Problem."' Package version: 1.3. 2016 年 7 月 10 日。 https://www.math.ucdavis.edu/~romik/data/uploads/software/movingsofas-v1.3.nb.Romik, D. "Differential Equations and Exact Solutions in the Moving Sofa Problem." Exper. Math. 27, 316-330, 2018.Romik, D. "Dan Romik's Home Page: The Moving Sofa Problem." https://www.math.ucdavis.edu/~romik/movingsofa/.Sloane, N. J. A. Sequences A086118 and A128463 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

以此引用

Weisstein, Eric W. "Gerver Sofa." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GerverSofa.html