忠实模

一个 模 在一个 单位环 上被称为忠实模，如果对于所有不同的元素 , 属于 , 存在 使得 。换句话说，乘以 和乘以 定义了 的两个不同的 自同态。

这个条件等价于要求当 , 时，存在 使得 , 即 , 从而 的 零化子 简化为 。这尤其表明，任何无挠模都是忠实模。因此，有理数域 和多项式环 是忠实的 -模。

更一般地，任何包含 作为 子环 的 环 作为 上的 模 都是忠实的，因为只有 0 才能零化 1。

-模 不是忠实的，因为它们被 零化。一般来说，无限环上的有限模不能是忠实的，因为在这种情况下，环的无限多个元素只能产生有限数量的模自同态。