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椭圆有理函数

椭圆有理函数 R_n(xi,x) 是一类特殊的有理函数，它们在区间 x in [-1,1] 上逼近其他函数时具有良好的性质。 特别是，它们是等波纹的，满足在 |R_n(xi,x)|<=1 |x|<=1 范围内 极小极大逼近 在 |x|>=xi 范围内，在 x in [1,xi] 上表现出单调递增，并且具有最小阶数 n 。 其他性质包括对称性

R_n^2(xi,-x)=R_n^2(xi,x),
(1)

归一化

R_n(xi,1)=1,
(2)

该性质

R_n(xi,x)=(R_n(xi,xi))/(R_n(xi,xi/x)),
(3)

和嵌套性质

R_(mn)(xi,x)=R_m(R_n(xi,xi),R_n(xi,x))
(4)

（Lutovac et al. 2001）。

EllipticRationalFunctions

令判别因子 L_n(xi) 为 R_n(xi,x) 在 |x|>=1 范围内的最大值，椭圆有理函数可以定义为

R_n(xi,x)=cd(n(K([L_n(xi)]^(-1)))/(K(xi^(-1)))cd^(-1)(x,xi^(-1)),[L_n(xi)]^(-1)),
(5)

其中 K(k) 是第一类完全椭圆积分，cd(u,k) 是雅可比椭圆函数，并且 cd^(-1)(x,k) 是反雅可比椭圆函数。对于 n=1 、2 和 3，这些函数由下式给出

R_1(xi,x)=x
(6)
R_2(xi,x)=((sqrt(1-xi^_^2)+1)x^2-1)/((sqrt(1-xi^_^2)-1)x^2+1)
(7)
R_3(xi,x)=([1+dn(2/3K(xi^_),xi^_)]^2x^2-[1+2dn(2/3K(xi^_),xi^_)]^2)/([dn^2(2/3K(xi^_),xi^_)]x^2+1)x,
(8)

其中 xi^_=xi^(-1)。R_n(xi,x) 可以用闭合形式表示，而无需使用椭圆函数，对于 n 形式为 n=2^i3^j。

椭圆有理函数与第一类切比雪夫多项式 T_n(x) 相关，关系如下

lim_(xi->infty)R_n(xi,x)=cos(ncos^(-1)x)=T_n(x).
(9)

参见

第一类切比雪夫多项式, 椭圆函数, 有理函数

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参考文献

Antoniou, A. 数字滤波器：分析与设计。 New York: McGraw-Hill, 1979.Daniels, R. W. 电子滤波器设计逼近方法。 New York: McGraw-Hill, 1974.Lutovac, M. D.; Tosic, D. V.; and Evans, B. L. 信号处理滤波器设计：使用 MATLAB 和 Mathematica。 Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2001.

在 上被引用

椭圆有理函数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "椭圆有理函数。" 来自 -- 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticRationalFunction.html

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