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霍纳法

一种寻找多项式方程根的方法 f(x)=0。 现在找到一个方程，其根是此方程的根减小了 r，因此

0=f(x+r)=f(r)+xf^'(r)+1/2x^2f^('')(r)+1/3x^3f^(''')(r)+....
(1)

...、...、... 的表达式然后如下例所示找到，其中

f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F.
(2)

将系数 A、B、...、F 写在一行中，并让一个新字母（显示为分母）代表它正上方的总和，因此，在以下示例中，P=Ar+B。 结果如下表。

ABCDEF
(Ar)/P(Pr)/Q(Qr)/R(Rr)/S(Sr)/omega
(Ar)/T(Tr)/U(Ur)/R(Vr)/chi
(Ar)/W(Wr)/X(Xr)/psi
(Ar)/Y(Yr)/phi
(Ar)/theta

求解量 theta、phi、psi、chi 和 omega 得到

theta=5Ar+B=1/(4!)f^((iv))(r)
(3)
phi=10Ar^2+4Br+C=1/(3!)f^(''')(r)
(4)
psi=10Ar^3+6Br^2+3Cr+D=1/(2!)f^('')(r)
(5)
chi=5Ar^4+4Br^3+3Cr^2+2Dr+E=f^'(r)
(6)
omega=Ar^5+Br^4+Cr^3+Dr^2+Er+F=f(r),
(7)

因此，方程的根是 f(x)=0 的根，每个根都减小了 r，是

0=Ax^5+thetax^4+phix^3+psix^2+chix+omega
(8)

(Whittaker 和 Robinson 1967 年)。

要应用此过程，首先通过任何需要的手段确定根的整数部分，然后将方程减小此量。 这给出第二位数字，方程再次被缩小（在乘以 10 后）以找到第三位数字，依此类推。

HornersMethod

要查看该方法的应用，请考虑找到以下方程的最小正根的问题

x^3-4x^2+5=0.
(9)

此根介于 1 和 2 之间，因此将方程减小 1，得到上面显示的左表。 得到的缩小方程是

x^3-x^2-5x+2=0,
(10)

并且是此方程根的十倍的根满足方程

x^3-10x^2-500x+2000=0.
(11)

此方程在 1 和 10 之间的根位于 3 和 4 之间，因此将方程减小 3 会产生上面显示的右表，从而给出变换后的方程

x^3-x^2-533+437=0.
(12)

可以继续此过程以产生近似为 1.3819659 的根。

霍纳过程实际上归结为构造一个差商表（Whittaker 和 Robinson 1967 年）。

另请参阅

差商, 牛顿法

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Boyer, C. B. and Merzbacher, U. C. 数学史，第 2 版 New York: Wiley, pp. 202-204, 256, and 307, 1991.Horner, W. G. "一种通过连续逼近求解所有阶数值方程的新方法。" Philos. Trans. Roy. Soc. London 109, 308-335, 1819.Matthews, J. H. "霍纳法书目。" http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/horner/HornerBib/Links/HornerBib_lnk_2.html.Peña, J. M. and Sauer, T. "关于多元霍纳方案。" SIAM J. Numer. Anal. 37, 1186-1197, 2000.Peña, J. M. and Sauer, T. "关于多元霍纳方案 II：运行误差分析。" SIAM J. Numer. Anal. 65, 311-322, 2000.Ruffini, P. "Sopra la determinazione delle radici nelle equazioni numeriche di qualunque grado." Modena, Italy, 1804.Ruffini, P. Memorie di Mat. e di Fis. della Soc. Italiana delle Scienze. Verona, Italy, 1813.Séroul, R. "多项式求值：霍纳法。" §10.6 in 程序员数学。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 216-262, 2000.Whittaker, E. T. and Robinson, G. "鲁菲尼-霍纳法。" §53 in 观测微积分：数值数学专论，第 4 版。 New York: Dover, pp. 100-106, 1967.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

霍纳法

请引用为

Weisstein, Eric W. "霍纳法。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HornersMethod.html

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