主题
Search

数字和

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本

数字和 s_b(n) 是基数-b 数字 n 的总和。整数 n 的以 10 为基数的数字和在 Wolfram 语言 中实现为DigitSum[n]，以及基数-b 数字和为DigitSum[n, b]。

下表给出了 s_b(n) 对于 n=1、2、... 和小 b。

bOEISs_b(n) 对于 n=1、2、...
2A0001201, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...
3A0537351, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, ...
4A0537371, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, ...
5A0538241, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 3, ...
6A0538271, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, ...
7A0538281, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, ...
8A0538291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
9A0538301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
10A0079531, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
DigitSums

上面展示了前一千个正整数的数字和在基数 2 到 10 时的图。

DigitSum

绘制 s_b(n) 与 b 和 n 的关系图，得到如上所示的图。

数字和 s_b(n) 满足同余式

n=s_b(n) (mod b-1).
(1)

在以 10 为基数的情况下，这个同余式是 弃九法 和快速 整除性检验（例如 3 和 9 的整除性检验）的基础。

s_b(n) 满足以下令人意外的恒等式

sum_(n=1)^infty(s_b(n))/(n(n+1))=b/(b-1)lnb,
(2)

其中 b=2 的情况在 1981 年普特南竞赛中给出 (Allouche 1992)。 此外，

sum_(n=1)^(infty)s_2(n)(2n+1)/(n^2(n+1)^2)=(pi^2)/9
(3)
sum_(n=2)^(infty)[s_2(n)]^2(8n^3+4n^2+n-1)/(4n(n^2-1)(4n^2-1))=(17)/(24)+ln2
(4)

(OEIS A100044 和 A100045; Allouche 1992, Allouche 和 Shallit 1992)。

设 u(n) 为 数字块 11 在 n 的二进制展开式中的数量，则

sum_(n=1)^(infty)(u(n))/(n(n+1))=3/2ln2-1/4pi
(5)

(OEIS A100046; Allouche 1992)。

Sondow (2006) 指出了令人意外的恒等式

product_(n=0)^inftyproduct_(k=1,3,...)^(b-1)((nb+k)/(nb+k+1))^((-1)^(s_b(n)))=1/(sqrt(b)).
(6)

b=2 的特殊情况对应于 Thue-Morse 序列 乘积 (J. Sondow，私人通信，2006 年 10 月 31 日)。

数字 1、81、1458 和 1729 (OEIS A110921) 都是它们自身数字和及其反转的乘积，例如 1+7+2+9=19，以及 19×91=1729。 藤原 (Fujiwara 和 Ogawa 2005) 证明了只有这四个数字具有此属性。

另请参阅

弃九法, 数字根, 数字, 数字块, 数字计数, 数字乘积, 整除性检验

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/DigitCount/

此条目的部分内容由 Topher Cooper 贡献

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products Related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.Allouche, J.-P. and Shallit, J. "The Ring of k-Regular Sequences." Theor. Comput. Sci. 98, 163-197, 1992.Fujiwara, M. and Ogawa, Y. Introduction to Truly Beautiful Mathematics. Tokyo: Chikuma Shobo, 2005.Grabner, P. J.; Herendi, T.; and Tichy, R. F. "Fractal Digital Sums and Codes." Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 8, 33-39, 1997.Shallit, J. O. "On Infinite Products Associated with Sums of Digits." J. Number Th. 21, 128-134, 1985.Sloane, N. J. A. Sequences A000120/M0105, A007953, A053735, A053737, A053824, A053827, A053828, A053829, A053830, A100044, A100045, and A100046 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sondow, J. "Problem 11222." Amer. Math. Monthly 113, 459, 2006.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, p. 218, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

数字和

请引用为

Cooper, Topher 和 Weisstein, Eric W. “数字和。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DigitSum.html

主题分类