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圆顶

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一个 n 角圆顶 Q_n 是一个 多面体，具有 n 个倾斜的 三角形 和 n 个矩形面，分隔一个 {n} 和一个 {2n} 正多边形，每个都水平定向。底部 多面体顶点 的坐标是

(Rcos[(pi(2k+1))/(2n)],Rsin[(pi(2k+1))/(2n)],0),
(1)

顶部 多面体顶点 的坐标是

(rcos[(2kpi)/n],rsin[(2kpi)/n],z),
(2)

其中 R 和 r 是底部和顶部的 外接圆半径

R=1/2acsc(pi/(2n))
(3)
r=1/2acsc(pi/n),
(4)

并且 z 是高度。

Cupola3
Cupola4
Cupola5

只有当 n=3, 4, 5 时，才可能存在所有边长为单位长度的圆顶（在这种情况下，三角形变成单位等边三角形，矩形变成单位正方形），在这种情况下，高度 z 可以通过在方程 (1) 和 (2) 中令 k=0 来获得相邻底部和顶部 多面体顶点 的坐标，

b=[Rcos(pi/(2n)); Rsin(pi/(2n)); 0]
(5)
t=[r; 0; z].
(6)

由于所有边长都是 a,

|b-t|^2=a^2.
(7)

求解 z 然后得到

[Rcos(pi/(2n))-r]^2+R^2sin^2(pi/(2n))+z^2=a^2
(8)
z^2+R^2+r^2-2rRcos(pi/(2n))=a^2.
(9)

求解 z 然后得到

z=sqrt(a^2-2rRcos(pi/(2n))-r^2-R^2)
(10)
=asqrt(1-1/4csc^2(pi/n)).
(11)

另请参阅

双圆顶, 伸长圆顶, 旋转伸长圆顶, 五角圆顶, 圆 Rotunda, 正方圆顶, 三角圆顶

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参考文献

Johnson, N. W. “具有正规面的凸多面体。”Canad. J. Math. 18, 169-200, 1966.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

圆顶

请引用为

Weisstein, Eric W. “圆顶。” 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cupola.html

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