晶体学限制

如果平面上的离散群具有多个旋转中心，那么唯一可能发生的旋转是 2、3、4 和 6 次旋转。这可以如下所示。内角和除以边数必须是 的约数。

其中 是一个整数。因此，对称性只可能存在于

其中 是一个整数。 这适用于 1 倍、2 倍、3 倍、4 倍和 6 倍对称。 注意到当 时，它不适用，因为 对应于 。 的情况要求 （不可能），而 的情况要求 （也是不可能的）。

满足晶体学限制的点群称为晶体学点群。

尽管在严格意义上的完美晶体学对称性中，对于 不同于 2、3、4 和 6 的 n 倍旋转是被禁止的，但存在一种称为准晶体的奇异材料，它们表现出这些对称性。 1984 年，D. Shechtman 发现了一类铝合金，其 X 射线衍射图显示 5 倍对称性。 由于这长期以来被认为是晶体学上禁止的，这最初引起了很大的震惊，直到后来人们才明白，存在一些材料，它们不是完全的晶体，但非常接近晶体，它们表现出实际晶体所禁止的对称性。 许多已知的准晶体可以被认为是 Penrose 瓷砖产生的非周期性平铺的三维类似物。