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蒲丰投针问题

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BuffonNeedle

蒲丰投针问题要求找出长度为 l 的针落在地板上的线的概率，已知地板上有等间距 平行 线，线间距为 d。这个问题最初由法国博物学家蒲丰在 1733 年提出（Buffon 1733, pp. 43-45），并在 1777 年由蒲丰再现并附带解决方案（Buffon 1777, pp. 100-104）。

定义尺寸参数 x 为

x=l/d.
(1)

对于短针（即，比两条线之间距离短的针，因此 x=l/d<1），针落在一条线上的概率 P(x) 为

P(x)=int_0^(2pi)(l|costheta|)/d(dtheta)/(2pi)
(2)
=(2l)/(pid)int_0^(pi/2)costhetadtheta
(3)
=(2l)/(pid)
(4)
=(2x)/pi.
(5)

对于 x=l/d=1，因此变为

P(x=1)=2/pi=0.636619...
(6)

（OEIS A060294）。

对于长针（即，比两条线之间距离长的针，因此 x=l/d>1），它 相交 至少一条线的概率是稍微复杂的表达式

P(x)=2/pi(x-sqrt(x^2-1)+sec^(-1)x),
(7)

其中（Uspensky 1937, pp. 252 和 258; Kunkel）。

BuffonsNeedleProbability

写作

P(x)={(2x)/pi for x<=1; 2/pi(x-sqrt(x^2-1)+sec^(-1)x) for x>1
(8)

然后给出上面所示的图。以上可以通过注意到

P(x)=int_0^(phi/2)int_(lsinphi/2)f_sf_phidsdphi,
(9)

其中

f_s={2/d for 0<=x<=1/2d; 0 for x>1/2d
(10)
f_phi=2/pi
(11)

是针的中点 s 到最近线的距离 s 和针与线形成的角 phi 的概率函数，当 0<=s<=(lsinphi)/2 时发生相交，并且通过对称性，phi 可以限制在 [0,pi/2] 范围内。

设 N 是投掷 n 次尺寸参数为 x 的短针的线交叉次数。那么 N 服从参数为 n 和 2x/pi 的 二项分布。对于 theta=1/pi 的点估计量由下式给出

theta^^=N/(2xn),
(12)

它既是均匀最小方差无偏估计量，又是最大似然估计量（Perlman 和 Wishura 1975），方差为

var(theta^^)=theta/(2n)(1/x-2theta),
(13)

在 x=1 的情况下，给出

var(theta^^)=(theta^2(1-2theta))/(2thetan).
(14)

对于 pi 的估计量 pi^^=1/theta^^ 称为蒲丰估计量，是渐近无偏估计量，由下式给出

pi^^=(2xn)/N,
(15)

其中 x=l/d，n 是投掷次数，N 是线交叉次数。它具有渐近方差

avar(pi^^)=(pi^2)/(2n)(pi/x-2),
(16)

对于 x=1 的情况，变为

avar(pi^^)=(pi^2(1/2pi-1))/n
(17)
approx (5.6335339)/n
(18)

（OEIS A114598；Mantel 1953；Solomon 1978, p. 7）。

BuffonNeedleTosses

上图显示了长度参数为 x=1/3 的针投掷 500 次的结果，其中交叉线的针以红色显示，未交叉线的针以绿色显示。107 次投掷交叉线，得出 pi^^=3.116+/-0.073。

BuffonTosses

已经进行了几次尝试，通过投掷针来实验性地确定 pi。上面说明了从五个独立的（短）针投掷系列计算出的 pi，每次试验投掷一百万次 x=1/3。有关相关统计数据的讨论以及对更准确（且最令人难以置信）的针投掷之一的批判性分析，请参见 Badger (1994)。Uspensky（1937，pp. 112-113）讨论了进行 2520、3204 和 5000 次试验的实验。

该问题可以扩展到形状为 凸多边形 的“针”，其 广义直径 小于 d。多边形的边界将 相交 其中一条线的概率由下式给出

P=p/(pid),
(19)

其中 p 是多边形的 周长 (Uspensky 1937, p. 253; Solomon 1978, p. 18)。

通过在用两组垂直线划线的板上投掷针而获得的进一步推广称为 蒲丰-拉普拉斯投针问题。

另请参见

蒲丰-拉普拉斯投针问题， 清洁瓷砖问题

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参考文献

Badger, L. "Lazzarini's Lucky Approximation of pi." Math. Mag. 67, 83-91, 1994.Bogomolny, A. "Buffon's Noodle." http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/Buffon.shtml.Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 139, 2003.Buffon, G. 编辑关于 1733 年勒克莱尔·德·蒲丰先生在巴黎皇家科学院发表的演讲的注释。 Histoire de l'Acad. Roy. des Sci., pp. 43-45, 1733.Buffon, G. "道德算术随笔。" Histoire naturelle, générale er particulière, Supplément 4, 46-123, 1777.Diaconis, P. "长针蒲丰投针问题。" J. Appl. Prob. 13, 614-618, 1976.Dörrie, H. "蒲丰投针问题。" §18 in 初等数学的 100 个伟大问题：它们的历史和解决方案。 New York: Dover, pp. 73-77, 1965.Edelman, A. 和 Kostlan, E. "随机多项式有多少个实零点？" Bull. Amer. Math. Soc. 32, 1-37, 1995.Hoffman, P. 爱数字的人：保罗·埃尔德什的故事和对数学真理的探索。 New York: Hyperion, p. 209, 1998.Isaac, R. 概率的乐趣。 New York: Springer-Verlag, 1995.Kendall, M. G. 和 Moran, P. A. P. 几何概率。 New York: Hafner, 1963.Klain, Daniel A. 和 Rota, G.-C. 几何概率导论。 New York: Cambridge University Press, 1997.Kraitchik, M. "投针问题。" §6.14 in 数学娱乐。 New York: W. W. Norton, p. 132, 1942.Kunkel, P. "蒲丰投针。" http://whistleralley.com/buffon/buffon.htm.Mantel, L. "蒲丰投针问题的扩展。" Ann. Math. Stat. 24, 674-677, 1953.Morton, R. A. "平面中随机曲线之间交叉点的预期数量和角度。" J. Appl. Prob. 3, 559-562, 1966.Perlman, M. 和 Wichura, M. "锐化蒲丰投针。" Amer. Stat. 20, 157-163, 1975.Santaló, L. A. 积分几何和几何概率。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1976.Schuster, E. F. "蒲丰投针实验。" Amer. Math. Monthly 81, 26-29, 1974.Sloane, N. J. A. 序列 A060294 和 A114598 在 "整数序列在线百科全书" 中。Solomon, H. "蒲丰投针问题、扩展和 pi 的估计。" Ch. 1 in 几何概率。 Philadelphia, PA: SIAM, pp. 1-24, 1978.Stoka, M. "凸测试体的蒲丰类型问题。" Conf. Semin. Mat. Univ. Bari, No. 268, 1-17, 1998.Uspensky, J. V. "蒲丰投针问题"、"蒲丰问题的扩展" 和 "蒲丰问题的第二种解决方案。" §12.14-12.16 in 数学概率导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 112-115, 251-255, 和 258, 1937.Wegert, E. 和 Trefethen, L. N. "从蒲丰投针问题到克雷斯矩阵定理。" Amer. Math. Monthly 101, 132-139, 1994.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 53, 1986.Wood, G. R. 和 Robertson, J. M. "蒲丰弄对了。" Stat. Prob. Lett. 37, 415-421, 1998.

在 Wolfram|Alpha 上引用

蒲丰投针问题

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "蒲丰投针问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BuffonsNeedleProblem.html

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