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布丰-拉普拉斯投针问题

BuffonLaplaceNeedle

布丰-拉普拉斯投针问题旨在找到概率 P(l,a,b)，即一根长度为 l 的针将落在至少一条线上，给定一个地板，其上有一个等距平行 线网格，线间距分别为 a 和 b，其中 l<a,b。针的位置可以用点 (x,y) 指定，其方向可以用坐标 phi 指定。通过对称性，我们可以考虑网格的单个矩形，因此 0<x<a 和 0<y<b。此外，由于相反的方向是等效的，我们可以取 -pi/2<phi<pi/2。

概率由下式给出

P(l;a,b)=1-(int_(-pi/2)^(pi/2)F(phi)dphi)/(piab),
(1)

其中

F(phi)=ab-blcosphi-la|sinphi|+1/2l^2|sin(2phi)|
(2)

(Uspensky 1937, p. 256; Solomon 1978, p. 4), 给出

P(l;a,b)=(2l(a+b)-l^2)/(piab).
(3)

这个问题最初由布丰 (1777, pp. 100-104) 解决，但他的推导包含一个错误。拉普拉斯 (1812, pp. 359-362; 拉普拉斯 1820, pp. 365-369) 给出了正确的解法。

BuffonLaplaceNeedleProbability

如果 a=b 使得 x=l/a=l/b 且 0<x<1, 那么针交叉 0、1 和 2 条线的概率为

P_0=1-(x(4-x))/pi
(4)
P_1=(2x(2-x))/pi
(5)
P_2=(x^2)/pi.
(6)

定义 N_i 为在 n 次投掷中，短针恰好交叉 n 条线的次数，变量 N_1+N_2 具有参数 n 和 m/pi 的二项分布，其中 m=x(4-x) (Perlman 和 Wichura 1975)。theta=1/pi 的点估计量由下式给出

theta^^=(N_1+N_2)/(mn),
(7)

这是一个具有方差的一致最小方差无偏估计量

var(theta^^)=theta/n(1/m-theta)
(8)

(Perlman 和 Wishura 1975)。pi^^=1/theta^^ 的估计量 pi 由下式给出

pi^^=(x(4x-x^2))/(1-(N_0)/n).
(9)

这具有渐近方差

avar(pi^^)=(pi^2(4x-x^2-pi))/(nx(x-4)),
(10)

其中，对于 x=1, 变为

avar(pi^^)=(pi^2(pi-3))/(3n)
(11)
approx (0.465821)/n
(12)

(OEIS A114602)。

BuffonLaplaceNeedleProblem

上面说明了一组针长为 a/l=b/l=0.3 的样本试验，其中与 0 条线相交的针以绿色显示，与单条线相交的针以黄色显示，与两条线相交的针以红色显示。

如果平面改为用边长为 a, b, c 的全等三角形平铺，并且投掷一根长度 l 小于最短高度的针，则针完全包含在其中一个三角形内的概率由下式给出

P=1+((Aa^2+Bb^2+Cc^2)l^2)/(8piK^2)-((4a+4b+4c-3l)l)/(4piK),
(13)

其中 A, B, 和 C 分别是 a, b, 和 c 的对角，K 是三角形的面积。对于由等边三角形组成的三角形网格，这简化为

P=1+2/3(l/a)^2-(lsqrt(3))/(pia)(4-l/a)
(14)

(Markoff 1912, pp. 169-173; Uspensky 1937, p. 258)。

另请参阅

布丰投针问题, 瓷砖铺设问题

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参考文献

Buffon, G. "Essai d'arithmétique morale." Histoire naturelle, générale er particulière, Supplément 4, 46-123, 1777.Laplace, P. S. Théorie analytique des probabilités. Paris: Veuve Courcier, 1812.Laplace, P. S. Théorie analytique des probabilités, 3rd rev. ed. Paris: Veuve Courcier, 1820.Markoff, A. A. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Leipzig, Germany: Teubner, 1912.Perlman, M. and Wichura, M. "Sharpening Buffon's Needle." Amer. Stat. 20, 157-163, 1975.Schuster, E. F. "Buffon's Needle Experiment." Amer. Math. Monthly 81, 26-29, 1974.Sloane, N. J. A. Sequence A114602 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Solomon, H. Geometric Probability. Philadelphia, PA: SIAM, pp. 3-6, 1978.Uspensky, J. V. "Laplace's Problem." §12.17 in Introduction to Mathematical Probability. New York: McGraw-Hill, pp. 255-257, 1937.

在 Wolfram|Alpha 中引用

布丰-拉普拉斯投针问题

引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "布丰-拉普拉斯投针问题." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Buffon-LaplaceNeedleProblem.html

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