扫帚空间

子集 是由 欧几里得平面 形成的 并集，它由 区间 （x 轴）以及所有穿过 原点 且与 x 轴形成角度 (以弧度为单位测量) 的单位长度 线段 的并集组成，其中 为所有正整数。

关于相对拓扑， 是 道路连通 的。因此它是连通的，但在开区间 的任何点上都不是 局部道路连通 的。以这些点之一为中心的每个圆盘与 的交集是一系列不相交线段的并集，这些线段形成一个不连通的集合。

设 是由长度为 的线段组成的扫帚空间，其中 为所有自然数，并将 、、、... 依次放置在 轴上。这将覆盖 的半开区间 轴（上图）。通过将点 (2,0) 添加到这个扫帚序列中而获得的空间在点 (2,0) 处是 局部连通 的，因为 (2,0) 的每个开邻域都包含一个 闭圆盘，其半径恰好由所有足够大的 的 的基区间形成。因此，包含在这个圆盘中的任何两点都通过由这些扫帚空间线段组成的路径连接。另一方面，点 (2, 0) 没有连通的开邻域，因为以 (2,0) 为中心的每个开圆盘都没有边界，因此，与闭圆盘的情况不同，它不能在某个扫帚空间的顶点处结束。因此，它必须穿过某个 ，这将与一系列不相交的线段相交，而这些线段形成一个不连通的集合。