伯努利不等式

伯努利不等式指出

(1)

其中 是一个 实数，且 是一个 整数。

这个不等式可以通过取 的麦克劳林级数来证明，

(2)

由于对于整数 ，该级数在有限项后终止，因此对于 ，伯努利不等式可以通过截断到一阶项获得。

当 时，需要稍微更精细的处理。在这种情况下，令 ，使得 ，并取

(3)

由于 的每个 幂 都乘以一个小于 的数，并且由于每个后续项的 系数的绝对值小于前一项，因此三阶及后续项的和是一个正数。因此，

(4)

或者

(5)

完成不等式在所有参数范围内的证明。

对于 ，伯努利不等式的以下推广对于实数指数有效

(6)

和

(7)

(Mitrinović 1970)。