巴拿赫-斯坦豪斯定理

巴拿赫-斯坦豪斯定理是泛函分析领域的一个结果，它将相对于拓扑向量空间之间的一族线性映射定义的某个点子集的“大小”与所涉及映射的某个连续性属性联系起来。

更精确地说，假设 和 是拓扑向量空间， 是一族从 到 的连续线性映射，并且 表示 X 中所有点的集合 ，这些点的轨道 在 中是有界的。巴拿赫-斯坦豪斯定理指出，如果 在 中是第二纲的，那么必然得出 ，并且族 是等度连续的。

巴拿赫-斯坦豪斯定理的陈述通常以各种形式给出，有些形式显然与上述形式不同。因此，它的各种推论有时被认为是实际定理的一部分。其中一个例子是将巴拿赫-斯坦豪斯定理与所谓一致有界原理等同起来，后者指出，如果 Banach 空间之间任何一族连续线性算子是逐点有界的，则它是一致有界的。这个结果实际上是上述巴拿赫-斯坦豪斯定理版本的推论，并结合了以下观察：在上述框架中，等度连续族 必然满足一致有界性，其中 的每个有界子集 都意味着存在 的有界子集 ，使得对于 中的每个 ， 属于 。