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第 45 个和第 46 个梅森素数被发现

作者：Eric W. Weisstein

2008 年 9 月 16 日——在第 44 个梅森素数被报道两年后（ 头条新闻：2006 年 9 月 11 日），互联网梅森素数大搜索 (GIMPS) 项目发现了第 45 个和第 46 个已知的梅森素数。这些发现是由 Edson Smith 于 2008 年 8 月 23 日（对于较大的素数）和 Hans-Michael Elvenich 于 2008 年 9 月 6 日（对于较小的素数）做出的，并由 GIMPS 组织者 George Woltman 于 9 月 16 日宣布。就像之前的梅森素数发现（其中 Curtis Cooper 博士和 Steven Boone 博士在极其不可能的情况下，也是第 43 个已知梅森素数的发现者）一样，这证明闪电不仅会击中两次，而且还会双重击中两次！更多细节可以在 Mersenne.org 新闻稿中找到。

梅森数是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的数，前几个是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...。有趣的是，这些数的定义意味着第 n 个梅森数在用 二进制表示时只是一串 n 个 1。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一个梅森数。梅森素数是也是素数的梅森数，即除了 1 和自身之外没有其他因子的数。所以，由于数字 127 是素数并且是梅森数，因此它是一个梅森素数。

新的梅森素数是 2^37,156,667 - 1 = 20225440689097733553...21340265022308220927 和 2^43,112,609 - 1 = 31647026933025592314...80022181166697152511 （其中省略号表示为了简洁起见，省略了数百万个中间数字），分别总共有惊人的 11,185,272 和 12,978,189 位十进制数字。因此，这两个素数不仅是已知的最大梅森素数，也是任何类型的已知最大素数。事实上，对于梅森数，有一种特别高效且更重要的是确定性的素性检验方法，称为 Lucas-Lehmer 检验。这种检验的效率以及梅森数的高度历史知名度，解释了为什么已知的八个最大素数都是梅森素数（素数数据库）。

对于那些好奇想看到新的素数完整 11,185,272 和 12,978,189 位数字的人，可以通过下载笔记本 mersenne45.nb 和 mersenne46.nb 来获得生成其十进制数字的简短 Mathematica 计算结果。如果您没有 Mathematica，您可以下载免费的播放器版本来查看此文件。由 GIMPS 程序使用的高级变换算法的发现者 Richard Crandall 创建的海报，展示了新素数的所有 1290 万位数字（以极小的字号显示），现在（或不久后）可以从 Perfectly Scientific 获得。

已知的十二个最大梅森素数（包括最新的）都是由 GIMPS 发现的，这是一个由国际志愿者合作进行的分布式计算项目。到目前为止，GIMPS 参与者已经测试并复核了所有小于 17,001,247 的指数 n，而所有小于 21,842,101 的指数至少被测试过一次。

对这类数字的研究有着悠久而有趣的历史，寻找梅森素数是一项计算上具有挑战性的练习，需要世界上最快的计算机。梅森素数与所谓的完全数密切相关，完全数曾被包括欧几里得在内的古希腊人广泛研究。先前已知的梅森素数的指数 n 的完整列表在下表中给出（以及 Neil Sloane 的《整数序列在线百科全书》中的序列 A000043）。然而，请注意，第 40 个已知梅森素数之后的区域尚未完全搜索，因此虽然列出的第 41 个数是迄今为止发现的第 41 个梅森素数，但尚不清楚 M_24,036,583 是否实际上是第 41 个梅森素数。