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第 44 个梅森素数被发现

作者：Eric W. Weisstein

2006 年 9 月 11 日——在第 43 个梅森素数被报道后不到一年（ 头条新闻：2005 年 12 月 25 日），互联网梅森素数大搜索 (GIMPS) 项目发现了第 44 个已知的梅森素数。候选素数被 Curtis Cooper 博士和 Steven Boone 博士标记为素数，令人惊讶的是，他们以极低的概率也发现了第 43 个已知的梅森素数，从而证明了（用 GIMPS 网站的话来说）闪电可以击中两次！更多详情请见 Mersenne.org 新闻稿。

梅森数是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的数，前几个为 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, .... 有趣的是，这些数的定义意味着第 n 个梅森数在二进制表示中仅仅是由 n 个 1 组成的字符串。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一个梅森数。梅森素数是同时也是素数的梅森数，即除了 1 和自身之外没有其他因子的数。因此，由于数字 127 是素数并且是梅森数，所以它是梅森素数。

新的梅森素数是 2^32,582,657 - 1 = 12457502601536945540...11752880154053967871 （省略号表示为了简洁而省略了数百万个中间数字），总共有惊人的 9,808,358 个十进制数字。因此，它不仅是已知最大的梅森素数，也是任何类型已知最大的素数。事实上，对于梅森数，存在一种特别有效且更重要的是确定性的素性测试，称为 Lucas-Lehmer 测试。这种测试的效率以及梅森数的高度历史地位，解释了为什么六个已知最大的素数都是梅森素数（素数数据库）。

对于那些好奇想看到这个新的素数完整 9,808,358 位数字的辉煌的人，可以通过下载笔记本 mersenne44.nb 来获得生成其十进制数字的简短 Mathematica 计算结果。如果您没有 Mathematica，您可以下载免费的试用版来查看此文件。Richard Crandall 创建的海报（以极小的字号显示新素数的所有 980 万位数字），Richard Crandall 是 GIMPS 程序使用的高级变换算法的发现者，现在（或不久将）可以从 Perfectly Scientific 获得。

包括最新的在内的十个已知最大的梅森素数都是由 GIMPS 发现的，GIMPS 是一个由国际志愿者协作进行的分布式计算项目。到目前为止，GIMPS 参与者已经测试并双重检查了所有小于 13,476,000 的指数 n，而所有小于 17,546,000 的指数都至少被测试过一次。

对此类数字的研究有着悠久而有趣的历史，而寻找梅森素数的努力一直是一项计算挑战性的练习，需要世界上最快的计算机。梅森素数与所谓的完全数密切相关，古代希腊人，包括欧几里得，对此进行了广泛的研究。下表给出了先前已知的梅森素数的指数 n 的完整列表（以及 Neil Sloane 的整数序列在线百科全书中的序列 A000043）。但是，请注意，第 39 个和第 40 个已知梅森素数之间的区域尚未完全搜索，因此，虽然列出的第 40 个数字是第 40 个被发现的梅森素数，但尚不清楚 M_20,996,011 是否实际上是第 40 个梅森素数。