头条新闻

发现第 43 个梅森素数

作者：Eric W. Weisstein

2005 年 12 月 25 日——在第 42 个梅森素数被报道后不到一年（ 头条新闻：2005 年 2 月 26 日），互联网梅森素数大搜索 (GIMPS) 项目发现了第 43 个已知的梅森素数。候选素数由中央密苏里州立大学的 Curtis Cooper 博士和 Steven Boone 博士（教授）标记为素数。更多细节可以在 Mersenne.org 新闻稿中找到。

梅森数是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的数，前几个是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, .... 有趣的是，这些数的定义意味着第 n 个梅森数在 二进制表示中只是一个由 n 个 1 组成的字符串。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一个梅森数。梅森素数是同时也是素数的梅森数，即除了 1 和自身之外没有其他因数。因此，由于数字 127 是素数并且是梅森数，所以它是梅森素数。

新的梅森素数是 2^30,402,457 - 1 = 31541647561884608093...11134297411652943871（省略号表示为了简洁起见，省略了数百万个中间数字），总共有惊人的 9,152,052 位十进制数字。因此，它不仅是已知的最大梅森素数，也是已知的任何类型的最大素数。事实上，对于梅森数，有一种特别有效且更重要的是确定性的素性测试，称为 Lucas-Lehmer 检验。此测试的效率以及梅森数的高度历史知名度解释了为什么四个最大的已知素数都是梅森素数。

对于那些好奇想看看这个新素数完整 9,152,052 位数字的人，生成其十进制数字的简短 Mathematica 计算结果可通过下载笔记本 mersenne43.nb 获得。如果您没有 Mathematica，您可以下载免费的试用版来查看此文件。Richard Crandall（GIMPS 程序使用的高级变换算法的发现者）制作了一张海报，展示了新素数的所有 910 万位数字（以极小的字号显示），该海报现在（或即将）在 Perfectly Scientific 上提供。

已知的九个最大的梅森素数（包括最新的）都是由 GIMPS 发现的，GIMPS 是一个由国际志愿者协作进行的分布式计算项目。截至 2005 年 12 月，GIMPS 参与者已经测试并复核了所有小于 11,145,000 的指数 n，而所有小于 15,464,000 的指数都至少被测试过一次。

对这类数的研究有着悠久而有趣的历史，寻找梅森素数是一项计算挑战，需要世界上最快的计算机。梅森素数与所谓的完全数密切相关，古代希腊人（包括欧几里得）对完全数进行了广泛研究。下表（以及 Neil Sloane 的整数序列在线百科全书中的序列 A000043）给出了先前已知的梅森素数的指数 n 的完整列表。但是，请注意，第 39 个和第 40 个已知的梅森素数之间的区域尚未完全搜索，因此，虽然列出的第 40 个数是第 40 个被发现的梅森素数，但尚不清楚 M_20,996,011 是否实际上是第 40 个梅森素数。