头条新闻

发现第 42 个梅森素数

作者：Eric W. Weisstein

2005 年 2 月 26 日——在第 41 个梅森素数被报道后不到一年（ 头条新闻：2004 年 6 月 1 日），互联网梅森素数大搜索 (GIMPS) 项目发现了第 42 个 已知的梅森素数。马丁·诺瓦克博士于 2 月 18 日标记该候选数为素数，托尼·雷克斯于 2 月 25 日独立验证，并于 2 月 26 日报告了该指数 (Reix)。诺瓦克的计算在一台 2.4-GHz 奔腾 4 计算机上花费了 50 多天，而验证在一台 16 Itanium CPU Bull NovaScale 5000 HPC 上花费了 5 天。更多详情请见 Mersenne.org 新闻稿。

梅森数是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的数，前几个是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...。有趣的是，这些数的定义因此意味着第 n 个梅森数在二进制表示中只是一串 n 个 1。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一个梅森数。梅森素数是也是素数的梅森数，即除了 1 和自身之外没有其他因子的数。因此，由于数字 127 是素数并且是梅森数，所以它是梅森素数。

新的梅森素数是 2^25,964,951 - 1 = 12216463006127794810...98933257280577077247（省略号表示为了简洁而省略了数百万个中间数字），总共有惊人的 7,816,230 个十进制位数。因此，它不仅是已知的最大梅森素数，也是任何类型中已知的最大素数。事实上，对于梅森数，存在一种特别有效，更重要的是，确定性的素性测试，称为 Lucas-Lehmer 测试。这种测试的效率，加上梅森数的高度历史知名度，因此解释了为什么四个最大的已知素数都是梅森素数。

对于那些好奇想看到新的素数完整 7,816,230 位数字的人，可以通过下载笔记本 mersenne42.nb 获取生成其十进制数字的简短 Mathematica 计算结果。如果您没有 Mathematica，您可以下载免费的试用版来查看此文件。由 GIMPS 程序使用的高级变换算法的发现者 Richard Crandall 创建的海报，以极小的字号显示了新素数的所有 780 万位数字，目前（或即将）可从 Perfectly Scientific 获得。

包括最新的素数在内，八个最大的已知梅森素数都是由 GIMPS 发现的，GIMPS 是一个由国际志愿者协作进行的分布式计算项目。截至 2005 年 2 月 23 日，GIMPS 参与者已经测试并复核了所有小于 9,889,900 的指数 n，而所有小于 15,130,000 的指数都至少测试过一次。

对此类数字的研究有着悠久而有趣的历史，寻找梅森素数是一项计算上具有挑战性的练习，需要世界上最快的计算机。梅森素数与所谓的完全数密切相关，完全数在古代希腊时期，包括欧几里得，就得到了广泛的研究。下表给出了先前已知的梅森素数的指数 n 的完整列表（以及尼尔·斯隆的整数序列在线百科全书中的序列 A000043）。但是，请注意，第 39 个和第 40 个已知的梅森素数之间的区域尚未完全搜索，因此，虽然列出的第 40 个数字是第 40 个被发现的梅森素数，但尚不清楚 M_20,996,011 是否实际上是第 40 个梅森素数。