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任意长的素数级数

作者：Eric W. Weisstein

2004年4月12日——素数（即诸如 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 等不能写成更小正整数乘积的正整数）长期以来一直令数学家和非数学家着迷。素数在数学的许多领域也起着重要作用，包括数论和密码学。因此，它们被广泛研究，并且对其性质了解甚多。

例如，希腊数学家和几何学家欧几里得（约公元前 325 年 - 约公元前 270 年）提出了一个优美的证明（现在被称为欧几里得第二定理），证明素数的数量是无限的。然而，在 1896 年 Hadamard 和 de la Vallée Poussin 独立证明了所谓的素数定理（一个给出了小于某个给定数的素数的渐近数量的公式的基本结果）之前，已经过去了两个千年多的时间。

虽然对素数了解甚多，但也仍然存在许多未知之处。例如，尚不清楚是否存在无限数量的所谓孪生素数，它们是 (p, p + 2) 形式的素数对。另一个尚未解答的问题是，是否存在任意给定长度的素数等差数列。

在数学中，等差数列是一组等间距的数字。例如，1、5、9、13、17 是公差为 4 的等差数列。类似地，素数等差数列是所有数字都是素数的等差数列。例如，199、409、619、829、1039、1249、1459、1669、1879、2089 是公差为 210 的 10 项素数等差数列。已知的素数等差数列的最大项数为 22，由序列 11,410,337,850,553 + 4,609,098,694,200k (Pritchard 等人，1993 年) 和 376,859,931,192,959 + 18,549,279,769,020k (Frind，2003 年) 对于 k = 0, 1, ..., 21 实现。

早在 1770 年，拉格朗日和沃林就研究了 n 个素数的等差数列的公差必须有多大。1923 年，哈代和小伍德提出了一个非常普遍的猜想，称为k 元组猜想，关于所谓的素数星座的分布，其中包括存在任意长度 k 的素数等差数列的假设。范德科尔普特 (1939 年) 和希思-布朗 (1981 年) 随后取得了重要的额外理论进展。

尽管付出了所有这些努力，但任意长度 k 的素数级数的普遍结果仍然是一个悬而未决的猜想 (Guy 1994, p. 15)。现在，由于 Ben Green 和 Terence Tao 的新工作，这个猜想似乎终于得到了肯定的解决。在最近发表的预印本中，Green 和 Tao (2004 年) 使用了一个重要的结果，即塞迈雷迪定理（该定理指出，每个具有正密度的整数序列都包含任意长的等差数列），结合 Goldston 和 Yildirim 最近的工作，一个巧妙的“转移原则”，以及 48 页密集而技术性的数学内容，似乎确立了素数确实包含所有 k 长度的等差数列的基本定理。

应该指出的是，Green 和 Tao 的工作是非构造性证明，这意味着虽然它似乎确立了任意给定长度 k 的素数等差数列的存在性，但它实际上无法产生一个具体的例子。因此，关于这个问题的最后一章仍然没有写完，尽管似乎可以肯定，显式地构造给定长度的素数级数比理论上证明它们的存在性这一已经很困难的任务还要难。