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卡塔兰猜想的草稿证明已流传

作者：Eric W. Weisstein

2002 年 5 月 5 日——今天，在一封发送给NMBRTHRY邮件列表的电子邮件中，数论学家 Alf van der Poorten 证实，数论学家 Preda Mihailescu 向一群数学家流传了一个长期悬而未决的 卡塔兰猜想 的明显证明。

所讨论的猜想是由比利时数学家 Eugène Charles Catalan 于 1844 年提出的，它指出 8 和 9 (2³ 和 3²) 是唯一的连续幂——不包括 0 和 1。换句话说，卡塔兰猜想认为

是所谓的 卡塔兰丢番图问题 的唯一非平凡解，

尽管 Hyyrö 和 Makowski 先前已经证明不存在三个连续的幂（Ribenboim 1996），但卡塔兰猜想本身在一个半多世纪以来一直顽固地拒绝被攻克。第一个突破性成果是 Robert Tijdeman（1976 年）的成果，他表明，如果该猜想不成立，则最多可能存在有限数量的例外。这导致了大量的计算工作，并且在 1999 年，Maurice Mignotte 表明，如果存在非平凡解，则 10⁷ < p < 7.15 x 10¹¹ 且 10⁷ < q < 7.78 x 10¹⁶ (Peterson 2000)。

最近在解决该猜想方面取得的最重大进展是通过追求已知结果，即如果方程存在其他解，则指数 p 和 q要么是所谓的 双 Wieferich 素数对（Steiner 1998），要么它们满足所谓的类数条件。关于此类别数条件的约束条件不断得到改进，从 Inkeri 开始，并延续到 Steiner（1998 年）的工作。然后，在 1999 年春季，Bugeaud 和 Hanrot 证明了最弱可能的类数条件无条件成立（即，无论 p 和 q 是否为双 Wieferich 素数对）。随后，在 2000 年秋季，Mihailescu 证明了双 Wieferich 素数对条件也必须无条件成立 (Peterson 2000)。

然后，在 2002 年 4 月 18 日，据报道 Mihailescu 向几位数学家发送了一份手稿，声称证明了整个猜想。据报道，该论文还附带了一份由同事 Yuri Bilu 撰写的解释性分析（van der Poorten 2002）。

在 Mihailescu 的成果被数学界分析并公开之前，卡塔兰猜想仍然悬而未决。然而，就像最近由数学家 Andrew Wiles 证明的著名的 费马最后定理 一样，卡塔兰自己在丢番图数论中的著名问题看来很可能在不久的将来由于 Mihailescu 的工作而得到解决。