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大数定律弱形式

大数定律弱形式（参见大数定律强形式）是概率论中的一个结果，也称为伯努利定理。设X_1, ..., X_n为独立同分布随机变量序列，每个变量都有均值 <X_i>=mu 和标准差 sigma。定义新变量

X=(X_1+...+X_n)/n.
(1)

那么，当 n->infty 时，样本均值 <x> 等于每个变量的总体均值 mu。

<X>=<(X_1+...+X_n)/n>
(2)
=1/n(<X_1>+...+<X_n>)
(3)
=(nmu)/n
(4)
=mu.
(5)

此外，

var(X)=var((X_1+...+X_n)/n)
(6)
=var((X_1)/n)+...+var((X_n)/n)
(7)
=(sigma^2)/(n^2)+...+(sigma^2)/(n^2)
(8)
=(sigma^2)/n.
(9)

因此，根据切比雪夫不等式，对于所有 epsilon>0，

P(|X-mu|>=epsilon)<=(var(X))/(epsilon^2)=(sigma^2)/(nepsilon^2).
(10)

当 n->infty 时，则有

lim_(n->infty)P(|X-mu|>=epsilon)=0.
(11)

（辛钦 1929）。换句话说，对于任意正数 epsilon，当 n->infty 时，平均值 |(X_1+...+X_n)/n-mu|<epsilon 的概率接近 1（Feller 1968，第 228-229 页）。

另请参见

渐近均分性, 中心极限定理, 切比雪夫不等式, 算术的无聊定理, 真正大数定律, 大数定律强形式

使用 探索

参考文献

Feller, W. “大数定律。” 概率论及其应用导论，第 1 卷，第 3 版。 第 10 章。纽约：Wiley，第 228-247 页，1968 年。Feller, W. “同分布变量的大数定律。” 概率论及其应用导论，第 2 卷，第 3 版。 第 7.7 节。纽约：Wiley，第 231-234 页，1971 年。Khinchin, A. “关于大数定律。” Comptes rendus de l'Académie des Sciences 189, 477-479, 1929.Papoulis, A. 概率、随机变量和随机过程，第 2 版。 纽约：McGraw-Hill，第 69-71 页，1984 年。

在 中引用

大数定律弱形式

请引用为

Weisstein, Eric W. “大数定律弱形式。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/WeakLawofLargeNumbers.html

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