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王氏猜想


王氏猜想指出,如果一组瓦片可以平铺平面,那么它们总是可以被安排成周期性地平铺(Wang 1961)。当 Berger (1966) 证明存在非周期性瓦片组时,这个猜想被反驳了。Berger 使用了 20426 瓦片,但这个数字后来被大大减少了。

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Culik (1996) 将彩色方瓦的数量减少到 13 个。Jeandel 和 Rao (2015) 随后发现了一个 11 瓦片 4 色的集合(如上图所示),并通过穷举搜索证明,在瓦片数量少于 11 个或颜色少于 4 色的 Wang 瓦片集合中,没有非周期性的集合,因此这个集合是最小的。

对于非正方形瓦片,由于 Penrose 瓦片(2 种瓦片)、Robertson tiling(6 种瓦片)和各种 Ammann tiling(2-5 种瓦片),问题变得更加复杂。

长期存在的寻找非周期性单瓦片的问题已由 Smith 等人 (2023) 解决。


另请参阅

非周期性单瓦片, 非周期性平铺, Hat Polykite, 平铺

本条目部分内容由 Ed Pegg, Jr. (作者链接) 贡献。

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参考文献

Adler, A. and Holroyd, F. C. "Some Results on One-Dimensional Tilings." Geom. Dedicata 10, 49-58, 1981.Berger, R. "The Undecidability of the Domino Problem." Mem. Amer. Math. Soc. No. 66, 1-72, 1966.Culik, K. II "An Aperiodic Set of 13 Wang Tiles." Disc. Math. 160, 245-251, 1996.Dutch, S. "Aperiodic Tilings." May 29, 2003. http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/aperiod.htm.Grünbaum, B. and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman, 1986.Hanf, W. "Nonrecursive Tilings of the Plane. I." J. Symbolic Logic 39, 283-285, 1974.Jeandel, E. and Rao, M. "An Aperiodic Set of 11 Wang Tiles." 25 Jun 2015. https://arxiv.org/abs/1506.06492.Kari, J. "A Small Aperiodic Set of Wang Tiles." Disc. Math. 160, 259-264, 1996.Mozes, S. "Tilings, Substitution Systems, and Dynamical Systems Generated by Them." J. Analyse Math. 53, 139-186, 1989.Myers, D. "Nonrecursive Tilings of the Plane. II." J. Symbolic Logic 39, 286-294, 1974.Radin, C. Miles of Tiles. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 6-8, 1999.Robinson, R. M. "Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane." Invent. Math. 12, 177-209, 1971.Smith, D.; Myers, J. S.; Kaplan, C. S.; and Goodman-Strauss, C. "An Aperiodic Monotile." 20 Mar 2023. https://arxiv.org/abs/2303.10798.Smith, T. "Penrose Tilings and Wang Tilings." http://www.innerx.net/personal/tsmith/pwtile.html.Wang, H. "Proving Theorems by Pattern Recognition. II." Bell Systems Tech. J. 40, 1-41, 1961.

请引用为

Pegg, Ed Jr.Weisstein, Eric W. “王氏猜想。” 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WangsConjecture.html

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