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Wall-Sun-Sun 素数

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令 F_n 为第 n 个 斐波那契数，令 (p|5) 为 勒让德符号，使得

e_p=(p/5)={1 for p=1,4 (mod 5); -1 for p=2,3 (mod 5).
(1)

一个素数 p 如果满足以下条件，则称为 Wall-Sun-Sun 素数

F_(p-e_p)=0 (mod p^2).
(2)

前几个 F_(p-e_p) (mod p^2) 的值是 2, 3, 5, 21, 55, 39, 272, 57, ... (OEIS A113650)。

在上限 10^(14) (McIntosh 2004) 以内，没有 Wall-Sun-Sun 素数，随后 PrimeGrid 在 2015 年 11 月将其扩展到 1.4597479×10^(17)。

令 L_n 为第 n 个 卢卡斯数。那么

L_(p-e_p)=2e_p (mod p^2)
(3)

对于所有素数 p>5。前几个 2e_p (mod p^2) 的值是 2, 7, 0, 47, 2, 167, 287, ... (OEIS A113651)。

设 p 为素数。则以下条件等价

1. F_(p-e_p)=0 (mod p^2),

2. F_p=e_p (mod p^2),

3. L_p=1 (mod p^2).

另请参阅

斐波那契数, 整数序列素数, 卢卡斯数

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参考文献

McIntosh, R. email to Paul Zimmermann. 2004 年 3 月 9 日. http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status.PrimeGrid PRPNet. "Wall-Sun-Sun 素数搜索." http://prpnet.primegrid.com:13001.Sloane, N. J. A. 序列 A113650 和 A113651，出自 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Wall-Sun-Sun 素数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Wall-Sun-Sun 素数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Wall-Sun-SunPrime.html

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