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托格里亚蒂 (1940, 1949) 表明存在具有 31 个普通双重点的五次曲面，尽管他没有明确推导出此类曲面的方程。Beauville (1978) 随后证明了 31 个双重点是最大可能的数量，因此具有 31 个普通双重点的五次曲面有时被称为托格里亚蒂曲面。van Straten (1993) 随后构建了一个三维解族，并在 1994 年，Barth 推导出了以下示例
![64(x-w)[x^4-4x^3w-10x^2y^2-4x^2w^2+16xw^3-20xy^2w+5y^4+16w^4-20y^2w^2]
-5sqrt(5-sqrt(5))(2z-sqrt(5-sqrt(5))w)[4(x^2+y^2+z^2)+(1+3sqrt(5))w^2]^2,](/images/equations/TogliattiSurface/NumberedEquation1.svg) |
其中 
是一个参数（Endraß 2003），上面为 
时的图示。
该曲面在 群 
下是不变的，并且恰好包含 15 条线。其中五条是曲面与包含 16 个结点的 
-不变锥的交集，五条是曲面与包含 10 个结点的 
-不变平面的交集，最后五条是曲面与第二个不包含结点的 
-不变平面的交集 (Endraß 2003)。
ordine con soli punti doppi isolati." Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich 85, 127-132, 1940.Togliatti, E. "Sulle superficie monoidi col massimo numero di punti doppi." Ann. Mat. Pura Appl. 30, 201-209, 1949.van Straten, D. "A Quintic Hypersurface in 
with 130 Nodes." Topology 32, 857-864, 1993.
Weisstein, Eric W. "托格里亚蒂曲面。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TogliattiSurface.html
