鲁菲尼法则是除以 多项式 的线性因子的快捷方法，形式为 
，可以用来代替标准的长除法算法。此方法将多项式和线性因子简化为一组数值。处理这些数值后，得到的数值输出集用于构建多项式商和多项式余数。
请注意，鲁菲尼法则是一种更广义的综合除法概念的特例，其中除数多项式是首一线性多项式。 令人困惑的是，鲁菲尼法则有时也被称为综合除法，从而导致常见的误解，即综合除法的范围远小于长除法算法。
对于鲁菲尼法则的示例，请考虑 
除以 
。首先，如果
的幂次项在被除数中缺失，则必须将具有该幂次和零系数的项插入到多项式中的正确位置。在这种情况下，
项在被除数中缺失，因此必须在三次项和线性项之间添加 
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(1)
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接下来，所有变量及其指数（
、
、
）从被除数中移除，仅留下被除数的系数列表：
、
、
和 
。接下来，由于鲁菲尼法则只需要线性因子 
的常数项（
），因此除数被修改为单项“序列”
。请注意，如果除数是 
，重写为 
将导致修改后的除数序列为 
。
表示除数和被除数序列的数字被放置在类似除法的配置中
被除数中的第一个数字（
）被放入结果区域（水平线下方）的第一个位置。这个数字是原始被除数多项式中 
项的系数
然后，结果中的第一个条目（
）乘以除数（
），并将乘积放置在被除数中的下一个项（
）下方
接下来，将被除数中的数字和乘法结果相加，并将总和放在结果行的下一个位置
对于被除数中的其余数字，此过程将继续进行
结果是序列 
、
、
、
。除最后一个数字外的所有数字都成为商多项式的系数。由于三次多项式除以线性项，因此商是二次多项式
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(2)
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结果列表中的最后一个条目（即，
）是余数。商和余数可以组合成一个表达式
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(3)
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（请注意，没有执行除法运算来计算此除法问题的答案。）
为了验证此过程是否有效，可以将商乘以除数，然后加上余数以获得原始被除数多项式
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(4)
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(5)
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鲁菲尼法则可以与多项式余数定理结合使用，以评估多项式在实数值处的值。例如，考虑多项式
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(6)
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为了找到 
的值，余数定理指出，当 
除以 
时，
是余数。使用鲁菲尼法则，可以得到
因此 
。
