结构同态

在逻辑中，术语“同态”的使用方式类似于但又略有不同于其在抽象代数中的用法。在逻辑中的用法是范畴论中“态射”的一个特例。

设 ，和 是通用语言 的结构，并设 。则 是从到的同态，如果它满足以下条件：

1. 对于每个常数 ，。

2. 对于每个谓词符号 ，如果 的元数为 ，则

3. 对于每个函数符号（或运算），如果 的元数为 ，则对于任何 ，

例如，设 和 为（有向）图（集合 是 的顶点集，而 是 的顶点集，而 是图 的边的关系表示，等等）。从 到 的同态是一个函数 ，使得对于 和 的任何顶点 ， 和 由有向边连接（从 到 ），当且仅当顶点 和 由从 到 的有向边连接时。

另一个例子可以在有序群理论中找到。设 和 为有序群。（我们使用符号 来表示乘法逆运算。我们将省略上标 和 ，并且对于任何 （或 ），我们用 表示 。）在这种情况下，形式上应用我们对同态的定义表明， 是同态当且仅当它满足以下条件：

1. .

2. 对于 ，。

3. 对于任何 ，。

4. 对于任何 ， 当且仅当 。

（当然，这些条件可以被证明是冗余的。因此，许多教材在定义同态时，不需要保持群的单位元 ()，并假设保持乘法逆运算。）

泛代数的同态是结构同态的特例，结构同态的概念也扩展了有序集和各种关系/代数结构范畴中相应的态射概念。