稀疏标尺是一种 标尺，其整数长度为 
，并具有最少的 
刻度，允许测量所有距离 1, 2, 3, 4, ... 直到 
(可能重复)。 因此，它们与 Gardner (1985, pp. 65-67 和 261-262) 所考虑的标尺类型非常相似。
考虑一个长度为 13 的稀疏标尺。 显然，五个刻度是不够的，因为可能的刻度之间最多有 
个差值。 另一方面，六个刻度就足够了，但由于这会产生 
个差值，因此必须有两个重复值。 这样一组刻度的示例是 
0, 1, 6, 9, 11, 和 13
，它给出了高达 13 的所有距离，但包括距离 2 和 5 各两次 (
和 
; 
和 
)。 事实上，对于五个或更多刻度，不存在 完美 稀疏标尺，即唯一测量直至其长度的所有距离的稀疏标尺 (Golomb 1972; Gardner 1983, p. 154)。
稀疏标尺出现在 Erdős 和 Gál (1949) 的差分表示问题中。 寻找给定长度的稀疏标尺的问题部分由 Leech (1956) 解决，主要由 Wichmann (1963) 解决。 然而，直到 Robinson (2014) 和 Pegg (2020) 进行现代计算机分析后，Wichmann 解决方案的强大之处才被认识到。
一个稀疏标尺的例子可以通过刻度 
0, 1, 2, 3, 27, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 55, 58
给出，刻度之间的差值为 
1, 1, 1, 24, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3
。 像这样具有重复值的标尺有一个缩写形式，写为 
。 这种表示法导致了主要的 
和次要的 
Wichmann 构造
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具有 
个刻度的 Wichmann 标尺的最大长度为 
。 对于 
, 2, ...，这些长度为 3, 6, 9, 12, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 68, 79, ... (A289761)。 最优稀疏标尺对于给定数量的刻度具有最大长度。 除了长度为 1、13、17、23 和 58 (A349978) 之外，所有已知的最优稀疏标尺都是 Wichmann 构造。 最优标尺猜想认为，除这些例外情况外，所有最优稀疏标尺都是 Wichmann 构造。
长度为 
的稀疏标尺具有 
个刻度，其中 
称为超额量，等于 0 或 1。 
对于 
, 51, ... 的值由 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, ... (A326499) 给出，这是一个偏移量为 50 的序列，因为对于所有 
而言 
。 计算机搜索的难度随着长度呈指数级增长。 事实上，甚至没有排除超额量对于某些 (较大) 的 
值可能是 
的可能性。
主要的和次要的 Wichmann 构造彼此之间是简单的修改，并且大多数解决方案可以通过多种方式进行修改。 对于超过 880 个刻度，在 Wichmann 构造的末尾添加单个刻度可以为任何大于 257992 的长度产生超额量为 0 或 1 的解决方案。 这使得稀疏标尺在组合数学问题中显得不寻常，因为较小（而非较大）的情况最难找到，其中长度为 1792 的稀疏标尺尤其具有挑战性。
绘制最大 Wichmann 标尺批次中的超额值导致了一种模式，N. J. A. Sloane 称之为“阴天下的黑暗撒旦磨坊”。 黑暗磨坊中的所有窗口都是 Wichmann 构造。 由于这种模式，人们认为 Wichmann (1963) 解决了这个问题，并带有上述警告。
。" Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 51, 1155-1158, 1948. 也发表为 Indagationes Math. 10, 379-382, 1949。Gardner, M. 
。" J. London Math. Soc. 31, 160-169, 1956。Pegg, E. "击中所有刻度：探索稀疏标尺的新界限和 Wolfram 语言证明。" 2020.