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夏皮罗循环和常数

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考虑以下求和

f_n(x_1,x_2,...,x_n)=(x_1)/(x_2+x_3)+(x_2)/(x_3+x_4)+...+(x_(n-1))/(x_n+x_1)+(x_n)/(x_1+x_2),
(1)

其中 x_j 是 非负 的，并且 分母 是 正 的。 Shapiro (1954) 询问是否

f_n(x_1,x_2,...,x_n)>=1/2n
(2)

对于所有 n 都成立。 事实证明（Mitrinovic et al. 1993），这个不等式对于所有偶数 n<=12 和 奇数 n<=23 都成立。

定义

f(n)=inf_(x>=0)f_n(x_1,x_2,...,x_n),
(3)

并令

lambda=lim_(n->infty)(f(n))/n=inf_(n>=1)(f(n))/n.
(4)

然后 Rankin (1958) 证明了

lambda<1/2-7×10^(-8).
(5)

lambda 可以通过令 phi(x) 为函数的 函数凸包 来计算

y_1=e^(-x)
(6)
y_2=2/(e^x+e^(x/2)).
(7)

然后

lambda=1/2phi(0)=0.4945668...
(8)

(OEIS A086277; Drinfeljd 1971)。

Elbert (1973) 考虑了一个修改后的和

g_n(x_1,x_1,...,x_n)=(x_1+x_3)/(x_1+x_2)+(x_2+x_4)/(x_2+x_3)+...+(x_(n-1)+x_1)/(x_(n-1)+x_n)+(x_n+x_2)/(x_n+x_1).
(9)

考虑

mu=lim_(n->infty)(g(n))/n,
(10)

其中

g(n)=inf_(x>=0)g_n(x_1,x_2,...,x_n),
(11)

并令 psi(x) 为 凸包 的

y_1=1/2(1+e^x)
(12)
y_2=(1+e^x)/(1+e^(x/2)).
(13)

然后

mu=psi(0)=0.978012...
(14)

(OEIS A086278)。

另请参阅

凸包

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参考文献

Drinfeljd, V. G. "A Cyclic Inequality." Math. Notes. Acad. Sci. USSR 9, 68-71, 1971.Elbert, A. "On a Cyclic Inequality." Period. Math. Hungar. 4, 163-168, 1973.Finch, S. R. "Shapiro-Drinfeld Constant." §3.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 208-211, 2003.Mitrinovic, D. S.; Pecaric, J. E.; and Fink, A. M. Classical and New Inequalities in Analysis. New York: Kluwer, 1993.Rankin, R. A. "An Inequality." Math. Gaz. 42, 39-40, 1958.Shapiro, H. S. "Problem 4603." Amer. Math. Monthly 61, 571, 1954.Sloane, N. J. A. Sequences A086277 and A086278 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上被引用

夏皮罗循环和常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "夏皮罗循环和常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ShapirosCyclicSumConstant.html

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