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车多项式

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车多项式是一个多项式

R_(m,n)(x)=sum_(k=0)^(min(m,n))r_kx^k
(1)

其系数表示在 m×n 棋盘上放置 k 个互不攻击的车的方式数。车多项式由下式给出

R_(m,n)(x)=n!x^nL_n^(m-n)(-x^(-1)),
(2)

其中 L_n^alpha(x) 是一个拉盖尔伴随多项式。

前几个方格 n×n 棋盘上的车多项式 R_n=R_(nn) 是

R_1(x)=x+1
(3)
R_2(x)=2x^2+4x+1
(4)
R_3(x)=6x^3+18x^2+9x+1
(5)
R_4(x)=24x^4+96x^3+72x^2+16x+1
(6)

(OEIS A021010)。

RookPolynomial

例如，注意到 n=2 的情况有两种方式放置两个车（即车数 r_2^((2,2))=2），四种方式放置一个车（r_1^((2,2))=4），以及一种方式不放置车（r_0^((2,2))=1），因此 R_2(x)=2x^2+4x+1。

另请参阅

车数, 车互反定理, 车问题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Fielder, D. C. "车多项式生成器。" Mathematica J. 9, 371-375, 2004.Liu, C. L. 组合数学导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 111-118, 1968.Riordan, J. "车的问题", "车多项式的性质", 和 "矩形棋盘"。 §7.2, 7.3, 和 7.4 in 组合分析导论。 New York: Wiley, pp. 164-170, 1958.Sloane, N. J. A. 整数数列线上百科全书中的数列 A021010。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

车多项式

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "车多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/RookPolynomial.html

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