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雷尼停车常数

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Renyi's parking problem

给定闭区间 [0,x]，其中 x>1，设单位长度的一维“汽车”随机停放在该区间上。可以容纳的汽车的平均数量 M(x) （互不重叠！）满足

M(x)={0 for 0<=x<1; 1+2/(x-1)int_0^(x-1)M(y)dy for x>=1.
(1)

对于大的 x，汽车的平均密度为

m=lim_(x->infty)(M(x))/x
(2)
=int_0^inftyexp(-2int_0^x(1-e^(-y))/ydy)dx
(3)
=0.7475979202...
(4)

（OEIS A050996）。虽然内部积分可以解析完成，

f(x)=int_0^x(1-e^(-y))/ydy
(5)
=gamma+Gamma(0,x)+lnx,
(6)

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，Gamma(0,x) 是不完全伽玛函数，但外部积分尚不清楚如何计算

m=int_0^inftyexp[-2f(x)]dx
(7)
=e^(-2gamma)int_0^infty(e^(-2Gamma(0,x)))/(x^2)
(8)
=e^(-2gamma)int_0^infty(e^(2Ei(-x)))/(x^2),
(9)

其中 Ei(x) 是指数积分。被积函数的缓慢收敛级数展开由下式给出

(e^(-2[gamma-Ei(-x)]))/(x^2)=1-2x+5/2x^2-(22)/9x^3+(293)/(144)x^4-(2711)/(1800)x^5+...
(10)

（OEIS A050994 和 A050995）。

此外，

M(x)=mx+m-1+O(x^(-n))
(11)

对于所有 n （Rényi 1958），Dvoretzky 和 Robbins (1964) 将其加强为

M(x)=mx+m-1+O[((2e)/x)^(x-3/2)].
(12)

Dvoretzky 和 Robbins (1964) 也证明了

inf_(x<=t<=x+1)(M(t)+1)/(t+1)<=m<=sup_(x<=t<=x+1)(M(t)+1)/(t+1).
(13)

设 V(x) 为汽车数量的方差，则 Dvoretzky 和 Robbins (1964) 以及 Mannion (1964) 表明

v=lim_(x->infty)(V(x))/x
(14)
=2int_0^infty{xint_0^1e^(-xy)R_2(y)dy+x^2[int_0^inftye^(-xy)R_1(y)dy]^2}×exp[-2int_0^x(1-e^(-y))/ydy]dx
(15)
=0.038156...
(16)

（OEIS A086245），其中

R_1(x)=M(x)-mx-m+1
(17)
R_2(x)={(1-m-mx)^2 for 0<=x<=1; 4(1-m)^2 for x=1; 2/(x-1)[int_0^(x-1)R_2(y)dy+int_0^(x-1)R_1(y)R_1(x-y-1)dy] for x>1
(18)

数值来自于 Blaisdell 和 Solomon (1970)。Dvoretzky 和 Robbins (1964) 也证明了

inf_(x<=t<=x+1)(V(t))/(t+1)<=v<=sup_(x<=t<=x+1)(V(t))/(t+1),
(19)

以及

V(x)=vx+v+O[((4e)/x)^(x-4)].
(20)

Palasti (1960) 推测在二维空间中，

lim_(x,y->infty)(M(x,y))/(xy)=m^2,
(21)

但这尚未被证实或证伪（Finch 2003）。

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参考文献

Blaisdell, B. E. 和 Solomon, H. "On Random Sequential Packing in the Plane and a Conjecture of Palasti." J. Appl. Prob. 7, 667-698, 1970.Dvoretzky, A. 和 Robbins, H. "On the Parking Problem." Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 9, 209-224, 1964.Finch, S. R. "Rényi's Parking Constant." §5.3 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 278-284, 2003.Mannion, D. "Random Space-Filling in One Dimension." Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 9, 143-154, 1964.Palasti, I. "On Some Random Space Filling Problems." Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 5, 353-359, 1960.Rényi, A. "On a One-Dimensional Problem Concerning Random Space-Filling." Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 3, 109-127, 1958.Sloane, N. J. A. 序列 A050994, A050995, A050996, 和 A086245，出自 "整数序列在线大全"。Solomon, H. 和 Weiner, H. J. "A Review of the Packing Problem." Comm. Statist. Th. Meth. 15, 2571-2607, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

雷尼停车常数

引用方式

Weisstein, Eric W. "雷尼停车常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RenyisParkingConstants.html

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