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拉马努金主定理

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假设在 x=0 的某个邻域内，x=0,

F(x)=sum_(k=0)^infty(phi(k)(-x)^k)/(k!)
(1)

对于某个函数（比如解析或可积函数）phi(k)。

int_0^inftyx^(n-1)F(x)dx=Gamma(n)phi(-n).
(2)

这些函数构成正/逆变换对。例如，对于所有 k 取 phi(k)=1 得到

F(x)=sum_(k=0)^infty((-x)^k)/(k!)=e^(-x),
(3)

和

int_0^inftyx^(n-1)e^(-x)dx=Gamma(n),
(4)

这正是 伽马函数 的常用积分公式。

拉马努金使用这个定理，通过代入 phi(n) 的特定值来生成惊人的恒等式。

另请参阅

Glasser 主定理, 拉马努金插值公式

此条目部分内容由 Jonathan Sondow 贡献 (作者链接)

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参考文献

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks: Part I. New York: Springer-Verlag, p. 298, 1985.Edwards, H. M. "Ramanujan's Formula." §10.10 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 218-225, 2001.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

拉马努金主定理

引用为

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "拉马努金主定理。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RamanujansMasterTheorem.html

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