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Peterson-Mainardi-Codazzi 方程

设 x:U->R^3 为一个 正则参数片，其中 U 是 R^2 的一个开子集。则

(partiale)/(partialv)-(partialf)/(partialu)=eGamma_(12)^1+f(Gamma_(12)^2-Gamma_(11)^1)-gGamma_(11)^2
(1)
(partialf)/(partialv)-(partialg)/(partialu)=eGamma_(22)^1+f(Gamma_(22)^2-Gamma_(12)^1)-gGamma_(12)^2,
(2)

其中 e, f, 和 g 是 第二基本形式 的系数，Gamma_(ij)^k 是 第二类 Christoffel 符号 (Gray 1997, p. 649)。

设 x:U->R^3 为主曲率参数片。则

(partiale)/(partialv)=1/2E_v(e/E+g/G)
(3)
(partialg)/(partialu)=1/2G_u(e/E+g/G)
(4)

(Gray 1997, p. 651), 其中 E, F, 和 G 是 第一基本形式 的系数。

对于渐近参数片 x:U->R^3,

(partial(lnf))/(partialu)=Gamma_(11)^1-Gamma_(12)^2
(5)
(partial(lnf))/(partialv)=Gamma_(22)^2-Gamma_(12)^1
(6)

和

partial/(partialu)((lnf)/(sqrt(EG-F^2)))=-2Gamma_(12)^2
(7)
partial/(partialv)((lnf)/(sqrt(EG-F^2)))=-2Gamma_(12)^1
(8)

(Gray 1997, p. 660)。

另请参阅

第二类 Christoffel 符号, 第一基本形式, 第二基本形式

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参考文献

Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. math. pura applicata 2, 101-19, 1868-1869.Coolidge, J. L. 几何方法史。 New York: Dover, 1963.Gray, A. "The Peterson-Mainardi-Codazzi Equations." §28.3 in Mathematica 曲线和曲面的现代微分几何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC 出版社, pp. 649-652, 1997.Green, A. E. and Zerna, W. 理论弹性力学，第二版。 New York: Dover, p. 37, 1992.Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385-398, 1856.Peterson, K. M. "Ueber die Biegung der Flächen." Dorpat. Kandidatenschrift. 1853.Reich, K. "Die Geschichte der Differentialgeometrie von Gauß bis Riemann." Arch. Hist. Exact Sci. 11, 273-382, 1973.

在 中被引用

Peterson-Mainardi-Codazzi 方程

请引用为

埃里克·韦斯坦因. "Peterson-Mainardi-Codazzi 方程." 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Peterson-Mainardi-CodazziEquations.html

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