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摩根-沃伊斯多项式

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Morgan-VoycePolynomials

摩根-沃伊斯多项式是与 Brahmagupta 和 Fibonacci 多项式相关的多项式。它们由以下递推关系定义

b_n(x)=xB_(n-1)(x)+b_(n-1)(x)
(1)
B_n(x)=(x+1)B_(n-1)(x)+b_(n-1)(x)
(2)

对于 n>=1，其中

b_0(x)=B_0(x)=1.
(3)

替代递推关系为

b_n(x)=(x+2)b_(n-1)(x)-b_(n-2)(x)
(4)
B_n(x)=(x+2)B_(n-1)(x)-B_(n-2)(x)
(5)

其中 b_1(x)=1+x 和 B_1(x)=2+x，以及

b_(n+1)b_(n-1)-b_n^2=x
(6)
B_(n+1)B_(n-1)-B_n^2=-1.
(7)

这些多项式可以由以下求和式显式给出

B_n(x)=sum_(k=0)^(n)(n+k+1; n-k)x^k
(8)
b_n(x)=sum_(k=0)^(n)(n+k; n-k)x^k.
(9)

定义矩阵

Q=[x+2 -1; 1 0]
(10)

得到以下恒等式

Q^n=[B_n -B_(n-1); B_(n-1) -B_(n-2)]
(11)
Q^n-Q^(n-1)=[b_n -b_(n-1); b_(n-1) -b_(n-2)].
(12)

定义

costheta=1/2(x+2)
(13)
coshphi=1/2(x+2)
(14)

得到

B_n(x)=(sin[(n+1)theta])/(sintheta)
(15)
B_n(x)=(sinh[(n+1)phi])/(sinhphi)
(16)

和

b_n(x)=(cos[1/2(2n+1)theta])/(cos(1/2theta))
(17)
b_n(x)=(cosh[1/2(2n+1)phi])/(cosh(1/2theta)).
(18)

摩根-沃伊斯多项式与 Fibonacci 多项式 F_n(x) 相关，关系如下

b_n(x^2)=F_(2n+1)(x)
(19)
B_n(x^2)=1/xF_(2n+2)(x)
(20)

(Swamy 1968ab)。

B_n(x) 满足以下常微分方程

x(x+4)y^('')+3(x+2)y^'-n(n+2)y=0,
(21)

而 b_n(x) 满足以下方程

x(x+4)y^('')+2(x+1)y^'-n(n+1)y=0.
(22)

关于多项式导数和积分的这些以及其他几个恒等式由 Swamy (1968) 给出。

另请参阅

婆罗摩笈多多项式, 斐波那契多项式

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参考文献

Lahr, J. "Fibonacci and Lucas Numbers and the Morgan-Voyce Polynomials in Ladder Networks and in Electric Line Theory." 在 斐波那契数及其应用 (编 G. E. Bergum, A. N. Philippou, 和 A. F. Horadam)。多德雷赫特，荷兰: Reidel, 1986。Morgan-Voyce, A. M. "Ladder Network Analysis Using Fibonacci Numbers." IRE Trans. Circuit Th. CT-6, 321-322, 9月. 1959。Swamy, M. N. S. "Properties of the Polynomials Defined by Morgan-Voyce." Fib. Quart. 4, 73-81, 1966a。Swamy, M. N. S. "More Fibonacci Identities." Fib. Quart. 4, 369-372, 1966b。Swamy, M. N. S. "Further Properties of Morgan-Voyce Polynomials." Fib. Quart. 6, 167-175, 1968。

在 Wolfram|Alpha 中引用

摩根-沃伊斯多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Morgan-Voyce Polynomials." 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Morgan-VoycePolynomials.html

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